空间向量

陈一男学习网站[ ChenYinan.com ] - 中国数学学会 - 中国院士 - GeoGebra - 数学基础

一、空间向量的基本概念与线性运算

1. 空间向量的定义：既有大小又有方向的量，记作\(\vec{a}\)或\(\overrightarrow{AB}\)；模长\(|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}\)。

2. 线性运算的二级结论

结论1：空间向量的三角形法则、平行四边形法则与平面向量一致；首尾相接的\(n\)个向量和为\(\overrightarrow{A_{1}A_{n}}\)。

结论2：共线向量定理：\(\vec{a} \parallel \vec{b} (\vec{b} \neq \vec{0}) \iff \exists \lambda \in \mathbb{R}\)，使得\(\vec{a} = \lambda\vec{b}\)；若\(\vec{a}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，\(\vec{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)，则\(\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{z_{1}}{z_{2}}\)（\(x_{2},y_{2},z_{2}\)均不为0）。

结论3：共面向量定理：向量\(\vec{p}\)与不共线向量\(\vec{a},\vec{b}\)共面 \(\iff \exists x,y \in \mathbb{R}\)，使得\(\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b}\)；推论：空间内四点\(P,A,B,C\)共面 \(\iff \overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC}\)，且\(x + y + z = 1\)。

结论4：空间向量基本定理：若\(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\)不共面，则对任意空间向量\(\vec{p}\)，存在唯一的有序实数组\((x,y,z)\)，使得\(\vec{p} = x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c}\)；\(\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}\)称为空间的一个基底。

二、数量积与坐标运算

1. 数量积的定义：\(\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\)，其中\(\langle\vec{a},\vec{b}\rangle \in [0,\pi]\)为两向量的夹角。

2. 坐标运算的二级结论

结论5：若\(\vec{a}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，\(\vec{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)，则

\(\vec{a} + \vec{b} = (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})\)；\(\lambda\vec{a} = (\lambda x_{1},\lambda y_{1},\lambda z_{1})\)；

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}\)；

\(|\vec{a}| = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}}\)；

\(\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle = \frac{x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}}\)。

结论6：垂直判定：\(\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b} = 0 \iff x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2} = 0\)。

结论7：数量积的性质：\(\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^{2}\)；\(\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}\)；\((\lambda\vec{a})\cdot\vec{b} = \lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})\)；\(\vec{a}\cdot(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}\)；注意：数量积不满足结合律，即\((\vec{a}\cdot\vec{b})\cdot\vec{c} \neq \vec{a}\cdot(\vec{b}\cdot\vec{c})\)。

三、空间中的平行与垂直（核心应用）

1. 直线的方向向量：与直线平行的非零向量，记作\(\vec{s}\)；平面的法向量：与平面垂直的非零向量，记作\(\vec{n}\)。

2. 平行与垂直的二级结论

结论8：线线平行：直线\(l_{1} \parallel l_{2} \iff \)方向向量\(\vec{s}_{1} \parallel \vec{s}_{2}\)；线线垂直：直线\(l_{1} \perp l_{2} \iff \)方向向量\(\vec{s}_{1} \perp \vec{s}_{2}\)。

结论9：线面平行：直线\(l \parallel \)平面\(\alpha \iff \)方向向量\(\vec{s} \perp \)法向量\(\vec{n}\)，且\(l\)上有一点不在\(\alpha\)内；即\(\vec{s}\cdot\vec{n} = 0\)。

结论10：线面垂直：直线\(l \perp \)平面\(\alpha \iff \)方向向量\(\vec{s} \parallel \)法向量\(\vec{n}\)。

结论11：面面平行：平面\(\alpha \parallel \)平面\(\beta \iff \)法向量\(\vec{n}_{1} \parallel \vec{n}_{2}\)。

结论12：面面垂直：平面\(\alpha \perp \)平面\(\beta \iff \)法向量\(\vec{n}_{1} \perp \vec{n}_{2}\)，即\(\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2} = 0\)。

四、空间中的夹角与距离（高考必考点）

1. 夹角的二级结论

结论13：异面直线所成角：\(\theta \in (0,\frac{\pi}{2}]\)，\(\cos\theta = \frac{|\vec{s}_{1}\cdot\vec{s}_{2}|}{|\vec{s}_{1}||\vec{s}_{2}|}\)，其中\(\vec{s}_{1},\vec{s}_{2}\)为两直线的方向向量；注意：取绝对值，保证夹角为锐角或直角。

结论14：线面角：\(\theta \in [0,\frac{\pi}{2}]\)，\(\sin\theta = \frac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|}\)，其中\(\vec{s}\)为直线的方向向量，\(\vec{n}\)为平面的法向量；本质：线面角与方向向量和法向量的夹角互余。

结论15：二面角：\(\theta \in [0,\pi]\)，\(\cos\theta = \pm\frac{|\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}|}{|\vec{n}_{1}||\vec{n}_{2}|}\)，其中\(\vec{n}_{1},\vec{n}_{2}\)为两平面的法向量；符号判定：观察二面角是锐角还是钝角，确定取正还是负。

2. 距离的二级结论

结论16：点到平面的距离：点\(P\)到平面\(\alpha\)的距离\(d = \frac{|\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}\)，其中\(A\)为平面\(\alpha\)内任意一点，\(\vec{n}\)为平面\(\alpha\)的法向量；核心公式，高考高频。

结论17：线面距离：直线\(l \parallel \)平面\(\alpha\)，则线面距离等于直线上任意一点到平面的距离，同结论16。

结论18：面面距离：平面\(\alpha \parallel \)平面\(\beta\)，则面面距离等于其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离，同结论16。

结论19：异面直线的距离：高考中极少考查，公式为\(d = \frac{|\overrightarrow{AB}\cdot(\vec{s}_{1} \times \vec{s}_{2})|}{|\vec{s}_{1} \times \vec{s}_{2}|}\)，其中\(A,B\)分别为两异面直线上的点，\(\vec{s}_{1},\vec{s}_{2}\)为方向向量，\(\vec{s}_{1} \times \vec{s}_{2}\)为叉乘（高中阶段可通过补形法转化为点到平面的距离）。

3. 法向量的求法（二级结论，直接套用）

结论20：若平面\(\alpha\)内有两个不共线向量\(\vec{a}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，\(\vec{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)，则平面\(\alpha\)的一个法向量为\(\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = (y_{1}z_{2} - y_{2}z_{1}, z_{1}x_{2} - z_{2}x_{1}, x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1})\)；记忆方法：行列式展开，交叉相乘再相减。

模块1：空间向量的线性运算与共面、共线判定（1-5题）

1. 已知空间四点\(A,B,C,D\)，若\(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{CD}\)，判断直线\(AB\)与\(CD\)的位置关系。

解：由\(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{CD}\)，根据共线向量定理，\(\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}\)，且\(AB = 2CD\)，故直线\(AB \parallel CD\)。

2. 设\(\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}\)是空间的一个基底，判断下列向量组是否能作为基底：（1）\(\vec{a},\vec{b},\vec{a}+\vec{b}\)；（2）\(\vec{a},\vec{b},\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\)。

解：（1）因为\(\vec{a}+\vec{b} = 1\cdot\vec{a} + 1\cdot\vec{b} + 0\cdot\vec{c}\)，三向量共面，不能作为基底；（2）假设三向量共面，则\(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}\)，即\(\vec{c} = (x-1)\vec{a} + (y-1)\vec{b}\)，与\(\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}\)是基底矛盾，故能作为基底。

3. 已知空间四点\(P,A,B,C\)，且\(\overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}\)，判断四点是否共面。

解：由\(\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1\)，根据共面向量定理的推论，四点\(P,A,B,C\)共面。

4. 化简：\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}\)。

解：根据三角形法则，\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)，\(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\)，\(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}\)，故结果为\(\vec{0}\)。

5. 已知\(\vec{a} = 2\vec{e}_{1} - \vec{e}_{2} + 3\vec{e}_{3}\)，\(\vec{b} = 3\vec{e}_{1} + 2\vec{e}_{2} - 2\vec{e}_{3}\)，求\(2\vec{a} - 3\vec{b}\)。

解：\(2\vec{a} = 4\vec{e}_{1} - 2\vec{e}_{2} + 6\vec{e}_{3}\)，\(3\vec{b} = 9\vec{e}_{1} + 6\vec{e}_{2} - 6\vec{e}_{3}\)，故\(2\vec{a} - 3\vec{b} = (4-9)\vec{e}_{1} + (-2-6)\vec{e}_{2} + (6+6)\vec{e}_{3} = -5\vec{e}_{1} - 8\vec{e}_{2} + 12\vec{e}_{3}\)。

模块2：数量积与坐标运算（6-10题）

6. 已知\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec{b}=(-2,0,1)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)，\(|\vec{a}|\)，\(\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle\)。

解：\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\times(-2) + 2\times0 + 3\times1 = 1\)；\(|\vec{a}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{14}\)；\(|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^{2} + 0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5}\)；\(\cos\langle\vec{a},\vec{b}\rangle = \frac{1}{\sqrt{14}\times\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{70}}{70}\)。

7. 已知\(\vec{a}=(2,-1,3)\)，\(\vec{b}=(1,2,-1)\)，判断\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)是否垂直。

解：\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 2\times1 + (-1)\times2 + 3\times(-1) = 2 - 2 - 3 = -3 \neq 0\)，故\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)不垂直。

8. 已知\(\vec{a}=(x,1,2)\)，\(\vec{b}=(1,-2,y)\)，且\(\vec{a} \parallel \vec{b}\)，求\(x,y\)的值。

解：由共线向量的坐标结论，\(\frac{x}{1} = \frac{1}{-2} = \frac{2}{y}\)，解得\(x = -\frac{1}{2}\)，\(y = -4\)。

9. 已知\(|\vec{a}| = 2\)，\(|\vec{b}| = 3\)，\(\langle\vec{a},\vec{b}\rangle = 60^{\circ}\)，求\((\vec{a} + 2\vec{b})\cdot(\vec{a} - \vec{b})\)。

解：展开得\(\vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{b}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|^{2} + |\vec{a}||\vec{b}|\cos60^{\circ} - 2|\vec{b}|^{2} = 4 + 2\times3\times\frac{1}{2} - 2\times9 = 4 + 3 - 18 = -11\)。

10. 已知空间三点\(A(1,0,0)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C(0,0,1)\)，求向量\(\overrightarrow{AB}\)与\(\overrightarrow{AC}\)的夹角。

解：\(\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)\)，\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = (-1)\times(-1) + 1\times0 + 0\times1 = 1\)，\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2}\)，\(|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{2}\)，故\(\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\)，夹角为\(60^{\circ}\)。

模块3：平行与垂直的判定（11-15题）

11. 已知直线\(l_{1}\)的方向向量\(\vec{s}_{1}=(1,2,3)\)，直线\(l_{2}\)的方向向量\(\vec{s}_{2}=(2,4,6)\)，判断\(l_{1}\)与\(l_{2}\)的位置关系。

解：\(\vec{s}_{2} = 2\vec{s}_{1}\)，故\(\vec{s}_{1} \parallel \vec{s}_{2}\)，直线\(l_{1} \parallel l_{2}\)。

12. 已知直线\(l\)的方向向量\(\vec{s}=(1,-1,2)\)，平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(2,1,-1)\)，判断直线\(l\)与平面\(\alpha\)的位置关系。

解：\(\vec{s}\cdot\vec{n} = 1\times2 + (-1)\times1 + 2\times(-1) = 2 - 1 - 2 = -1 \neq 0\)，且\(\vec{s}\)与\(\vec{n}\)不共线，故直线\(l\)与平面\(\alpha\)相交且不垂直。

13. 已知平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}_{1}=(1,2,3)\)，平面\(\beta\)的法向量\(\vec{n}_{2}=(2,4,6)\)，判断平面\(\alpha\)与\(\beta\)的位置关系。

解：\(\vec{n}_{2} = 2\vec{n}_{1}\)，故\(\vec{n}_{1} \parallel \vec{n}_{2}\)，平面\(\alpha \parallel \beta\)。

14. 已知平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}_{1}=(1,0,1)\)，平面\(\beta\)的法向量\(\vec{n}_{2}=(0,1,0)\)，判断平面\(\alpha\)与\(\beta\)的位置关系。

解：\(\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2} = 1\times0 + 0\times1 + 1\times0 = 0\)，故\(\vec{n}_{1} \perp \vec{n}_{2}\)，平面\(\alpha \perp \beta\)。

15. 求平面\(ABC\)的法向量，其中\(A(1,0,0)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C(0,0,1)\)。

解：\(\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)\)，根据法向量公式，法向量\(\vec{n} = (1\times1 - 0\times0, 0\times(-1) - (-1)\times1, (-1)\times0 - 1\times(-1)) = (1,1,1)\)。

模块4：夹角与距离的计算（16-20题，高考高频）

16. 已知异面直线\(l_{1}\)与\(l_{2}\)的方向向量分别为\(\vec{s}_{1}=(1,0,0)\)，\(\vec{s}_{2}=(0,1,1)\)，求异面直线所成角的余弦值。

解：根据结论13，\(\cos\theta = \frac{|\vec{s}_{1}\cdot\vec{s}_{2}|}{|\vec{s}_{1}||\vec{s}_{2}|} = \frac{|0|}{1\times\sqrt{2}} = 0\)，故余弦值为0。

17. 已知直线\(l\)的方向向量\(\vec{s}=(1,2,3)\)，平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(2,1,-1)\)，求直线\(l\)与平面\(\alpha\)所成角的正弦值。

解：根据结论14，\(\sin\theta = \frac{|\vec{s}\cdot\vec{n}|}{|\vec{s}||\vec{n}|} = \frac{|-1|}{\sqrt{14}\times\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{21}}{42}\)。

18. 已知平面\(\alpha\)与\(\beta\)的法向量分别为\(\vec{n}_{1}=(1,0,0)\)，\(\vec{n}_{2}=(0,1,0)\)，求二面角的大小。

解：\(\cos\theta = \frac{\vec{n}_{1}\cdot\vec{n}_{2}}{|\vec{n}_{1}||\vec{n}_{2}|} = 0\)，故二面角为\(90^{\circ}\)。

19. 已知点\(P(1,2,3)\)，平面\(\alpha\)的方程为\(x + y + z = 0\)，求点\(P\)到平面\(\alpha\)的距离。

解：平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(1,1,1)\)，取平面内一点\(O(0,0,0)\)，\(\overrightarrow{OP}=(1,2,3)\)，根据结论16，\(d = \frac{|\overrightarrow{OP}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|1+2+3|}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}\)。

20. 已知直线\(l \parallel \)平面\(\alpha\)，直线上一点\(P(1,0,0)\)，平面\(\alpha\)的法向量\(\vec{n}=(0,1,1)\)，平面内一点\(A(0,0,0)\)，求直线\(l\)到平面\(\alpha\)的距离。

解：根据结论17，线面距离等于点\(P\)到平面\(\alpha\)的距离，\(\overrightarrow{PA}=(-1,0,0)\)，\(d = \frac{|\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|0|}{\sqrt{2}} = 0\)？（注：本题中若直线\(l\)过点\(P\)且平行于平面，若\(P\)在平面内，则距离为0；若\(P\)不在平面内，需调整点的坐标。此处修改为\(P(1,0,0)\)，平面\(\alpha\)：\(y + z = 0\)，则\(d = \frac{|0 + 0|}{\sqrt{2}} = 0\)，实际应为\(P(1,1,1)\)，则\(d = \frac{|1 + 1|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)。）

修正解：设点\(P(1,1,1)\)，平面\(\alpha\)：\(y + z = 0\)，法向量\(\vec{n}=(0,1,1)\)，取平面内一点\(A(0,0,0)\)，\(\overrightarrow{PA}=(-1,-1,-1)\)，则距离\(d = \frac{|\overrightarrow{PA}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|-1 - 1|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\)。