外接球、内切球、棱切球

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外接球（球过所有顶点）、内切球（球与所有面相切）、棱切球（球与所有棱相切）三类问题：

一、核心概念与通用前提

1. 球的基本公式：

球的表面积 \( S=4\pi R^{2} \)，球的体积 \( V=\frac{4}{3}\pi R^{3} \)；球的截面性质：球心到截面的距离 \( d \)，截面圆半径 \( r \)，球半径 \( R \) 满足 \( R^{2}=d^{2}+r^{2} \)。

2. 几何体的“心”与球的关系

外接球的球心：几何体各顶点的中垂面的交点，到所有顶点的距离相等（均为 \( R \)）。

内切球的球心：几何体各面的角平分面的交点，到所有面的距离相等（均为 \( r \)）。

棱切球的球心：到所有棱的中点距离相等的点，到每条棱的距离相等（均为 \( r_{l} \)），高考中棱切球考查频率远低于前两者。

3. 存在性前提

任意正多面体、长方体、正方体、直棱柱、正棱锥都有唯一的外接球和内切球。

只有正方体、正八面体等特殊几何体存在棱切球，一般几何体不一定存在。

二、外接球核心知识点 + 二级结论

外接球是高考数学的必考点，核心在于找球心位置 + 求球半径 \( R \)，二级结论主要针对常见模型，直接代入即可。

1. 通用方法

补形法：将不规则几何体补成长方体、正方体、直棱柱等有确定外接球的几何体。

坐标法：建立空间直角坐标系，设球心坐标 \( (x,y,z) \)，利用球心到各顶点距离相等列方程求解。

2. 正方体与长方体模型（基础模型）

结论1：正方体的棱长为 \( a \)，则外接球半径 \( R=\frac{\sqrt{3}}{2}a \)。

推导：正方体的体对角线就是外接球的直径，体对角线长 \( \sqrt{3}a \)，故 \( R=\frac{\sqrt{3}}{2}a \)。

结论2：长方体的长、宽、高分别为 \( a,b,c \)，则外接球半径 \( R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2} \)。

推导：长方体的体对角线为外接球直径，与正方体同理。

推论：若几何体的三条棱两两垂直，且长度为 \( a,b,c \)，则可补成长方体，外接球半径同结论2（墙角模型，高考高频）。

3. 直棱柱模型

定义：侧棱与底面垂直的棱柱，记底面多边形的外接圆半径为 \( r \)，直棱柱的高为 \( h \)。

结论3：直棱柱的外接球半径 \( R=\sqrt{r^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}} \)。

推导：外接球的球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，球心到下底面的距离为 \( \frac{h}{2} \)，由截面性质 \( R^{2}=r^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2} \)。

常见底面的外接圆半径 \( r \)：

正三角形（边长 \( a \)）：\( r=\frac{\sqrt{3}}{3}a \)；

直角三角形（直角边 \( a,b \)，斜边 \( c \)）：\( r=\frac{c}{2} \)（斜边中点为外接圆圆心）；

正四边形（边长 \( a \)）：\( r=\frac{\sqrt{2}}{2}a \)；

任意三角形（三边 \( a,b,c \)）：由正弦定理 \( 2r=\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C} \)。

4. 正棱锥模型

定义：底面为正多边形，顶点在底面的投影为底面中心的棱锥，记底面外接圆半径为 \( r \)，棱锥的高为 \( h \)。

结论4：正棱锥的外接球半径 \( R=\frac{r^{2}+h^{2}}{2h} \)。

推导：外接球的球心在棱锥的高所在直线上，设球心到底面的距离为 \( d \)，则 \( |h - R|=d \)，由截面性质 \( R^{2}=r^{2}+d^{2} \)，联立得 \( R^{2}=r^{2}+(h - R)^{2} \)，化简即得。

特例：正三棱锥（棱长均为 \( a \)），外接球半径 \( R=\frac{\sqrt{6}}{4}a \)；正四棱锥（底面边长 \( a \)，侧棱长 \( a \)），外接球半径 \( R=\frac{\sqrt{2}}{2}a \)。

5. 棱锥的补形模型（高考高频）

结论5：正四面体（棱长 \( a \)）的外接球半径 \( R=\frac{\sqrt{6}}{4}a \)（可补成正方体，正四面体的棱为正方体的面对角线）。

结论6：若三棱锥的对棱相等，且分别为 \( a,b,c \)，则可补成长方体，长方体的长、宽、高满足 \( x^{2}+y^{2}=a^{2} \)，\( y^{2}+z^{2}=b^{2} \)，\( z^{2}+x^{2}=c^{2} \)，外接球半径 \( R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2} \)。

6. 其他特殊模型

结论7：圆柱的外接球半径 \( R=\sqrt{r^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}} \)（\( r \) 为圆柱底面半径，\( h \) 为高，同直棱柱模型）。

结论8：圆锥的外接球半径 \( R=\frac{r^{2}+h^{2}}{2h} \)（\( r \) 为圆锥底面半径，\( h \) 为高，同正棱锥模型）。

三、内切球核心知识点 + 二级结论

内切球的核心是等体积法，高考中主要考查正多面体、直棱柱、正棱锥的内切球，二级结论的本质是体积公式的变形。

1. 通用公式（等体积法）

对于任意有内切球的几何体，体积 \( V \) 等于以球心为顶点，将几何体分割成的若干个小棱锥的体积之和。

结论9：通用公式 \( V=\frac{1}{3}S_{\text{表}} \cdot r \)，其中 \( S_{\text{表}} \) 为几何体的表面积，\( r \) 为内切球半径。

推导：设几何体被分割成 \( n \) 个小棱锥，每个小棱锥的底面为原几何体的面，高为内切球半径 \( r \)，则 \( V=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{3}S_{i} \cdot r=\frac{1}{3}\left(\sum_{i=1}^{n}S_{i}\right) \cdot r=\frac{1}{3}S_{\text{表}} \cdot r \)。

注意：此公式是内切球的万能公式，适用于所有有内切球的几何体，高考优先使用。

2. 正方体与长方体模型

结论10：正方体的棱长为 \( a \)，内切球半径 \( r=\frac{a}{2} \)（内切球的直径等于正方体的棱长）。

结论11：长方体有内切球的充要条件是长、宽、高相等（即正方体），因此一般长方体没有内切球。

3. 正棱柱与圆柱模型

结论12：正棱柱有内切球的充要条件是侧棱长等于底面的内切圆直径。设底面内切圆半径为 \( r_{0} \)，侧棱长为 \( h \)，则内切球半径 \( r=r_{0}=\frac{h}{2} \)。

结论13：圆柱有内切球的充要条件是高等于底面直径，设底面半径为 \( r_{0} \)，高为 \( h \)，则 \( h=2r_{0} \)，内切球半径 \( r=r_{0} \)。

4. 正棱锥与圆锥模型

结论14：正棱锥的内切球半径可直接用通用公式 \( r=\frac{3V}{S_{\text{表}}} \)，其中 \( V \) 为棱锥体积，\( S_{\text{表}} \) 为表面积。

结论15：圆锥的内切球半径 \( r=\frac{rh_{0}}{r + l} \)，其中 \( r \) 为圆锥底面半径，\( h_{0} \) 为圆锥的高，\( l \) 为圆锥的母线长（也可由通用公式推导，圆锥的表面积 \( S_{\text{表}}=\pi r^{2}+\pi rl \)，体积 \( V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h_{0} \)）。

5. 特殊多面体模型

结论16：正四面体的棱长为 \( a \)，内切球半径 \( r=\frac{\sqrt{6}}{12}a \)（由通用公式，正四面体的体积 \( V=\frac{\sqrt{2}}{12}a^{3} \)，表面积 \( S_{\text{表}}=\sqrt{3}a^{2} \)，代入得 \( r=\frac{3V}{S_{\text{表}}}=\frac{\sqrt{6}}{12}a \)）。

推论：正四面体的外接球半径 \( R \) 与内切球半径 \( r \) 的关系为 \( R=3r \)（球心将高分成 \( 3:1 \) 的两段，外接球心在上，内切球心在下）。

四、棱切球核心知识点 + 二级结论

棱切球在高考中考查极少，仅需掌握特殊几何体的结论，了解即可。

1. 核心定义

棱切球的球心到几何体每条棱的距离相等，且球与每条棱都相切，棱切球的直径等于几何体中异面棱之间的距离（特殊几何体）。

2. 二级结论

结论17：正方体的棱长为 \( a \)，棱切球半径 \( r_{l}=\frac{\sqrt{2}}{2}a \)（棱切球的直径等于正方体的面对角线长度，球心为正方体的中心）。

结论18：正四面体的棱长为 \( a \)，棱切球半径 \( r_{l}=\frac{\sqrt{2}}{4}a \)（球心为正四面体的中心，到每条棱的距离相等）。

结论19：长方体有棱切球的充要条件是长、宽、高中有两个相等（即有两个面为正方形），此时棱切球半径 \( r_{l}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{2} \)（\( a,b \) 为正方形的边长）。

五、高考高频模型的二级结论速记表（纯文字版，方便背诵）

1. 墙角模型（三条棱两两垂直）：外接球半径 \( R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2} \)。

2. 直棱柱模型：外接球半径 \( R=\sqrt{r^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}} \)（\( r \) 为底面外接圆半径，\( h \) 为高）。

3. 正棱锥模型：外接球半径 \( R=\frac{r^{2}+h^{2}}{2h} \)（\( r \) 为底面外接圆半径，\( h \) 为高）。

4. 内切球万能公式：\( r=\frac{3V}{S_{\text{表}}} \)（所有有内切球的几何体通用）。

5. 正方体的三个球：外接球 \( R=\frac{\sqrt{3}}{2}a \)，内切球 \( r=\frac{a}{2} \)，棱切球 \( r_{l}=\frac{\sqrt{2}}{2}a \)。

6. 正四面体的三个球：外接球 \( R=\frac{\sqrt{6}}{4}a \)，内切球 \( r=\frac{\sqrt{6}}{12}a \)，棱切球 \( r_{l}=\frac{\sqrt{2}}{4}a \)，且 \( R=3r \)。

六、高考解题技巧与注意事项

1. 外接球问题优先考虑补形法，尤其是墙角模型、对棱相等的三棱锥，补成长方体后可直接用结论，避免复杂计算。

2. 内切球问题必用等体积法，即万能公式 \( r=\frac{3V}{S_{\text{表}}} \)，无需找球心位置，计算体积和表面积即可。

3. 正多面体的外接球、内切球、棱切球的球心重合，称为几何体的中心，可利用这一性质简化计算。

4. 注意几何体的存在性，例如一般长方体没有内切球，一般三棱锥没有棱切球，避免盲目套用结论。

5. 坐标法是通用兜底方法，当模型不明确时，建立空间直角坐标系，设球心坐标，列方程求解，虽然计算量较大，但正确率高。

七、空间几何体的外接球、内切球、棱切球高考典型例题

通用基础

1. 球的公式：表面积 \( S=4\pi R^{2} \)，体积 \( V=\frac{4}{3}\pi R^{3} \)；截面性质 \( R^{2}=d^{2}+r^{2} \)（\( d \) 为球心到截面距离，\( r \) 为截面圆半径）。

2. 球心的本质：

外接球心：各顶点中垂面的交点，到所有顶点距离相等；

内切球心：各面角平分面的交点，到所有面距离相等；

棱切球心：到所有棱距离相等的点，高考极少考查。

外接球二级结论（高考必背，标注高频模型）

1. 墙角模型（高频）：三条棱两两垂直的三棱锥，棱长为 \( a,b,c \)，外接球半径 \( R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2} \)（补成长方体）。

2. 长方体/正方体模型（基础）：

长方体长、宽、高为 \( a,b,c \)，\( R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2} \)；

正方体棱长为 \( a \)，\( R=\frac{\sqrt{3}}{2}a \)。

3. 直棱柱模型（高频）：侧棱垂直底面，底面外接圆半径为 \( r \)，高为 \( h \)，\( R=\sqrt{r^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}} \)。

4. 正棱锥模型（高频）：底面外接圆半径为 \( r \)，高为 \( h \)，\( R=\frac{r^{2}+h^{2}}{2h} \)。

5. 正四面体模型：棱长为 \( a \)，\( R=\frac{\sqrt{6}}{4}a \)（补成正方体，面对角线为 \( a \)）。

6. 对棱相等的三棱锥模型：对棱为 \( a,b,c \)，补成长方体，\( R=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2} \)。

7. 圆柱/圆锥模型：

圆柱：底面半径 \( r \)，高 \( h \)，\( R=\sqrt{r^{2}+\left(\frac{h}{2}\right)^{2}} \)；

圆锥：底面半径 \( r \)，高 \( h \)，母线 \( l \)，\( R=\frac{r^{2}+h^{2}}{2h} \)。

内切球二级结论（高考必背，万能公式优先）

1. 万能公式（核心，所有有内切球的几何体通用）：\( V=\frac{1}{3}S_{\text{表}} \cdot r \)，即 \( r=\frac{3V}{S_{\text{表}}} \)（等体积法推导）。

2. 正方体模型：棱长为 \( a \)，内切球半径 \( r=\frac{a}{2} \)（直径等于棱长）。

3. 正四面体模型：棱长为 \( a \)，\( r=\frac{\sqrt{6}}{12}a \)，且 \( R=3r \)（外接球与内切球半径关系）。

4. 圆锥模型：底面半径 \( r_{0} \)，高 \( h \)，母线 \( l \)，\( r=\frac{r_{0}h}{r_{0}+l} \)。

5. 正棱柱模型：有内切球的充要条件是侧棱长等于底面内切圆直径，此时 \( r \) 等于底面内切圆半径。

棱切球二级结论（高考了解即可）

1. 正方体模型：棱长为 \( a \)，棱切球半径 \( r_{l}=\frac{\sqrt{2}}{2}a \)（直径等于面对角线）。

2. 正四面体模型：棱长为 \( a \)，棱切球半径 \( r_{l}=\frac{\sqrt{2}}{4}a \)。

高考易错点标注

1. 一般长方体无内切球，只有正方体有；

2. 直棱柱的外接球心在上下底面外接圆圆心连线的中点，不是几何体的中心；

3. 正棱锥的外接球心在高所在直线上，可能在棱锥内部，也可能在外部（高较小时）；

4. 内切球的万能公式必须满足几何体有内切球，否则不成立。

外接球专题（12道，高考重点）

模型1：墙角模型（例题1-3）

例题1 已知三棱锥 \( P-ABC \) 中，\( PA\perp PB \)，\( PB\perp PC \)，\( PC\perp PA \)，且 \( PA=1 \)，\( PB=2 \)，\( PC=3 \)，求该三棱锥的外接球半径。

解答符合墙角模型，三条棱两两垂直，直接用结论：\( R=\frac{\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{14}}{2} \)。

例题2 已知三棱锥 \( A-BCD \) 中，\( AB\perp BC \)，\( AB\perp BD \)，\( BC\perp BD \)，且 \( AB=BC=BD=2 \)，求该三棱锥的外接球表面积。

解答墙角模型，\( R=\frac{\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}}{2}=\sqrt{3} \)，表面积 \( S=4\pi R^{2}=12\pi \)。

例题3 已知正方体 \( ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \) 的棱长为 2，截去一个角 \( A_{1}-ABD \) 后，求剩余几何体的外接球半径。

解答剩余几何体的外接球与原正方体的外接球相同，正方体的外接球半径 \( R=\frac{\sqrt{3}}{2}\times2=\sqrt{3} \)，故答案为 \( \sqrt{3} \)。

模型2：直棱柱模型（例题4-6）

例题4 已知直三棱柱 \( ABC-A_{1}B_{1}C_{1} \) 的底面为直角三角形，两直角边分别为 3 和 4，侧棱长为 5，求该直棱柱的外接球半径。

解答底面直角三角形的外接圆半径 \( r=\frac{斜边}{2}=\frac{5}{2} \)，直棱柱的高 \( h=5 \)，用直棱柱结论：\( R=\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2} \)。

例题5 已知直三棱柱 \( ABC-A_{1}B_{1}C_{1} \) 的底面为正三角形，边长为 2，侧棱长为 3，求该直棱柱的外接球表面积。

解答底面正三角形的外接圆半径 \( r=\frac{\sqrt{3}}{3}\times2=\frac{2\sqrt{3}}{3} \)，高 \( h=3 \)，\( R=\sqrt{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{2}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{3}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{43}{12}} \)，表面积 \( S=4\pi\times\frac{43}{12}=\frac{43\pi}{3} \)。

例题6 已知直四棱柱 \( ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} \) 的底面为正方形，边长为 1，侧棱长为 \( \sqrt{2} \)，求该直四棱柱的外接球体积。

解答底面正方形的外接圆半径 \( r=\frac{\sqrt{2}}{2}\times1=\frac{\sqrt{2}}{2} \)，高 \( h=\sqrt{2} \)，\( R=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=1 \)，体积 \( V=\frac{4}{3}\pi\times1^{3}=\frac{4\pi}{3} \)。

模型3：正棱锥模型（例题7-9）

例题7 已知正三棱锥 \( P-ABC \) 的底面边长为 2，高为 3，求该正三棱锥的外接球半径。

解答底面正三角形的外接圆半径 \( r=\frac{\sqrt{3}}{3}\times2=\frac{2\sqrt{3}}{3} \)，高 \( h=3 \)，用正棱锥结论：\( R=\frac{r^{2}+h^{2}}{2h}=\frac{\left(\frac{4}{3}\right)+9}{6}=\frac{31}{18} \)。

例题8 已知正四棱锥 \( P-ABCD \) 的底面边长为 4，侧棱长为 5，求该正四棱锥的外接球半径。

解答先求正四棱锥的高：底面正方形的中心到顶点的距离为 \( \frac{\sqrt{2}}{2}\times4=2\sqrt{2} \)，侧棱长为 5，故高 \( h=\sqrt{5^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{17} \)；底面外接圆半径 \( r=2\sqrt{2} \)，代入结论：\( R=\frac{(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{17})^{2}}{2\sqrt{17}}=\frac{8+17}{2\sqrt{17}}=\frac{25\sqrt{17}}{34} \)。

例题9 已知圆锥的底面半径为 3，高为 4，求该圆锥的外接球表面积。

解答圆锥的外接球模型同正棱锥，底面半径 \( r=3 \)，高 \( h=4 \)，\( R=\frac{3^{2}+4^{2}}{2\times4}=\frac{25}{8} \)，表面积 \( S=4\pi\times\left(\frac{25}{8}\right)^{2}=\frac{625\pi}{16} \)。

模型4：正四面体与补形模型（例题10-12）

例题10 已知正四面体的棱长为 2，求该正四面体的外接球半径。

解答直接用正四面体结论：\( R=\frac{\sqrt{6}}{4}\times2=\frac{\sqrt{6}}{2} \)。

例题11 已知三棱锥 \( A-BCD \) 中，对棱 \( AB=CD=1 \)，\( AC=BD=\sqrt{2} \)，\( AD=BC=\sqrt{3} \)，求该三棱锥的外接球半径。

解答对棱相等，补成长方体，设长方体的长、宽、高为 \( x,y,z \)，则 \( x^{2}+y^{2}=1 \)，\( y^{2}+z^{2}=2 \)，\( z^{2}+x^{2}=3 \)，三式相加得 \( 2(x^{2}+y^{2}+z^{2})=6 \)，即 \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=3 \)，外接球半径 \( R=\frac{\sqrt{3}}{2} \)。

例题12 已知三棱锥 \( P-ABC \) 中，\( AB=BC=CA=2 \)，\( PA=PB=PC=2 \)，求该三棱锥的外接球表面积。

解答该三棱锥为正四面体，棱长为 2，外接球半径 \( R=\frac{\sqrt{6}}{2} \)，表面积 \( S=4\pi\times\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=6\pi \)。

内切球专题（6道，高考次重点）

模型：万能公式 \( r=\frac{3V}{S_{\text{表}}} \)（例题13-18）

例题13 已知正方体的棱长为 2，求该正方体的内切球半径。

解答直接用结论：\( r=\frac{2}{2}=1 \)；也可用万能公式验证：体积 \( V=8 \)，表面积 \( S_{\text{表}}=24 \)，\( r=\frac{3\times8}{24}=1 \)。

例题14 已知正四面体的棱长为 2，求该正四面体的内切球半径。

解答直接用结论：\( r=\frac{\sqrt{6}}{12}\times2=\frac{\sqrt{6}}{6} \)；也可用万能公式验证：体积 \( V=\frac{\sqrt{2}}{12}\times2^{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3} \)，表面积 \( S_{\text{表}}=\sqrt{3}\times2^{2}=4\sqrt{3} \)，\( r=\frac{3\times\frac{2\sqrt{2}}{3}}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{6} \)。

例题15 已知圆锥的底面半径为 3，高为 4，母线长为 5，求该圆锥的内切球半径。

解答用圆锥内切球结论：\( r=\frac{3\times4}{3+5}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2} \)；也可用万能公式验证：体积 \( V=\frac{1}{3}\pi\times3^{2}\times4=12\pi \)，表面积 \( S_{\text{表}}=\pi\times3^{2}+\pi\times3\times5=24\pi \)，\( r=\frac{3\times12\pi}{24\pi}=\frac{3}{2} \)。

例题16 已知三棱锥 \( P-ABC \) 中，\( PA\perp PB \)，\( PB\perp PC \)，\( PC\perp PA \)，且 \( PA=PB=PC=2 \)，求该三棱锥的内切球半径。

解答先求体积：\( V=\frac{1}{6}\times2\times2\times2=\frac{4}{3} \)；再求表面积：四个面均为直角三角形，三个侧面的面积均为 \( \frac{1}{2}\times2\times2=2 \)，底面为正三角形，面积为 \( \sqrt{3} \)，故 \( S_{\text{表}}=3\times2+\sqrt{3}=6+\sqrt{3} \)；用万能公式：\( r=\frac{3\times\frac{4}{3}}{6+\sqrt{3}}=\frac{4}{6+\sqrt{3}}=\frac{4(6-\sqrt{3})}{33}=\frac{24-4\sqrt{3}}{33} \)。

例题17 已知正三棱柱 \( ABC-A_{1}B_{1}C_{1} \) 的底面边长为 2，侧棱长为 2，且该正三棱柱有内切球，求内切球半径。

解答正三棱柱有内切球的充要条件是侧棱长等于底面内切圆直径，底面正三角形的内切圆半径为 \( \frac{\sqrt{3}}{6}\times2=\frac{\sqrt{3}}{3} \)，故内切球半径 \( r=\frac{\sqrt{3}}{3} \)。

例题18 已知圆柱的底面半径为 1，高为 2，且该圆柱有内切球，求内切球的体积。

解答圆柱有内切球的充要条件是高等于底面直径，本题中高为 2，底面直径为 2，满足条件，内切球半径 \( r=1 \)，体积 \( V=\frac{4}{3}\pi\times1^{3}=\frac{4\pi}{3} \)。