1. 定义

设函数\(f(x)\)的定义域为\(D\)，如果存在一个非零常数\(T\)，使得对于任意\(x\in D\)，都有\(x + T\in D\)且\(f(x)=f(x + T)\)恒成立，则称\(f(x)\)为周期函数，\(T\)叫做这个函数的一个周期.

2. 常见周期函数

三角函数：如\(y = \sin x\)和\(y = \cos x\)的最小正周期是\(2\pi\)，\(y = \tan x\)的最小正周期是\(\pi\)。

狄利克雷函数：\(D(x)=\begin{cases}1, x\in Q\\0, x\in R\backslash Q\end{cases}\) ，任何有理数都是它的周期，且它没有最小正周期.

3. 性质

若\(T\)是\(f(x)\)的周期，则\(-T\)也是\(f(x)\)的周期.

若\(T\)是\(f(x)\)的周期，则\(nT\)（\(n\)为任意非零整数）也是\(f(x)\)的周期.

若\(T_1\)与\(T_2\)都是\(f(x)\)的周期，则\(T_1\pm T_2\)也是\(f(x)\)的周期.

若\(f(x)\)有最小正周期\(T^*\)，那么\(f(x)\)的任何正周期\(T\)一定是\(T^*\)的正整数倍.

若\(T_1\)、\(T_2\)是\(f(x)\)的两个周期，且\(\frac{T_1}{T_2}\)是无理数，则\(f(x)\)不存在最小正周期.

周期函数\(f(x)\)的定义域必定是至少一方无界的集合.

4. 判定定理

若\(f(x)\)是在集\(M\)上以\(T^*\)为最小正周期的周期函数，则\(kf(x)+c\)（\(k\neq0\)）和\(\frac{1}{f(x)}\)分别是集\(M\)和集\(\{x|f(x)\neq0,x\in M\}\)上的以\(T^*\)为最小正周期的周期函数.

若\(f(x)\)是集\(M\)上以\(T^*\)为最小正周期的周期函数，则\(f(ax+b)\)是集\(\{x|ax+b\in M\}\)上的以\(\frac{T^*}{|a|}\)为最小正周期的周期函数，（其中\(a\)、\(b\)为常数）.

设\(f(u)\)是定义在集\(M\)上的函数，\(u = g(x)\)是集\(M_1\)上的周期函数，且当\(x\in M_1\)时，\(g(x)\in M\)，则复合函数\(f(g(x))\)是\(M_1\)上的周期函数.

设\(f_1(x)\)、\(f_2(x)\)都是集合\(M\)上的周期函数，\(T_1\)、\(T_2\)分别是它们的周期，若\(\frac{T_1}{T_2}\in Q\)，则它们的和差与积也是\(M\)上的周期函数，\(T_1\)与\(T_2\)的最小公倍数为它们的周期.

5. 判定方法

判断\(f(x)\)的定义域是否有界，若定义域有界则不是周期函数，如\(f(x)=\cos x\)（\(x\leq10\)）不是周期函数.

根据定义讨论函数的周期性，即解关于\(T\)的方程\(f(x+T)-f(x)=0\)，若能解出与\(x\)无关的非零常数\(T\)便可断定函数\(f(x)\)是周期函数，若这样的\(T\)不存在则\(f(x)\)为非周期函数，如\(f(x)=\cos x^2\)是非周期函数.

一般用反证法证明，假设\(f(x)\)是周期函数推出矛盾，从而得出\(f(x)\)是非周期函数，如证\(f(x)=ax+b\)（\(a\neq0\)）是非周期函数.

6. 与函数其他性质的结合

与奇偶性结合：若函数\(f(x)\)是奇函数且周期为\(T\)，则\(f(-x)=-f(x)\)且\(f(x + T)=f(x)\)，由此可推出\(f(-\frac{T}{2})=-f(\frac{T}{2})\)，又因为\(f(-\frac{T}{2})=f(\frac{T}{2})\)，所以\(f(\frac{T}{2})=0\)，即奇函数在半周期处的函数值为\(0\)。类似地，若函数是偶函数且周期为\(T\)，则\(f(x)=f(-x)\)且\(f(x + T)=f(x)\)，可推出\(f(\frac{T}{2})=f(-\frac{T}{2})=f(\frac{T}{2}+T)\)等性质。

与单调性结合：已知函数的周期性和单调性可以确定函数在整个定义域上的单调区间。例如，若函数\(f(x)\)的周期为\(2\pi\)，在\([0,\pi]\)上单调递增，在\([\pi,2\pi]\)上单调递减，则可根据周期性得到在\([2k\pi,(2k + 1)\pi]\)（\(k\in Z\)）上单调递增，在\([(2k + 1)\pi,(2k + 2)\pi]\)（\(k\in Z\)）上单调递减。

函数周期性的例题：

例1：已知函数\(f(x)\)是定义在\((-\infty,\infty)\)上的奇函数，若对于任意的实数\(x\geq0\)，都有\(f(x + 2)=f(x)\)，且当\(x\in[0,2)\)时\(f(x)=\log_{2}(x + 1)\)，则\(f(2023)+f(2024)\)的值为多少 ？

分析：本题可先根据函数的周期性和奇偶性，将所求的函数值转化到已知解析式的区间内，再代入解析式求值。

解答：因为\(f(x)\)是周期为\(2\)的周期函数，所以\(f(2023)=f(2\times1011 + 1)=f(1)\)，\(f(2024)=f(2\times1012)=f(0)\)。当\(x\in[0,2)\)时，\(f(x)=\log_{2}(x + 1)\)，则\(f(1)=\log_{2}(1 + 1)=1\)，\(f(0)=\log_{2}(0 + 1)=0\)。又因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(-x)=-f(x)\)，则\(f(-1)=-f(1)=-1\)。而\(f(2023)=f(1)=1\)，\(f(2024)=f(0)=0\)，所以\(f(2023)+f(2024)=1 + 0 = 1\)。

例2：设\(f(x)\)是定义在\(R\)上且周期为\(2\)的函数，在区间\([-1,1]\)上，\(f(x)=\begin{cases}ax + 1,-1\leq x\lt0\\bx + 2,0\leq x\leq1\end{cases}\)，其中\(a,b\in R\)。若\(f(\frac{1}{2})=f(\frac{3}{2})\)，则\(a + 3b\)的值为多少 ？

分析：本题先根据函数的周期性求出\(f(\frac{3}{2})\)，再由已知条件建立关于\(a\)、\(b\)的方程，进而求出\(a + 3b\)的值。

解答：因为\(f(x)\)的周期为\(2\)，所以\(f(\frac{3}{2})=f(\frac{3}{2}-2)=f(-\frac{1}{2})\)。又\(f(\frac{1}{2})=f(\frac{3}{2})\)，则\(f(\frac{1}{2})=f(-\frac{1}{2})\)。将\(x=\frac{1}{2}\)和\(x=-\frac{1}{2}\)分别代入函数解析式可得：\(\frac{1}{2}b + 2=-\frac{1}{2}a + 1\)，化简得\(a + b=-2\)。再将\(x = 1\)代入\(f(x)\)，可得\(f(1)=b + 2\)，由周期性知\(f(-1)=f(1)\)，即\(-a + 1 = b + 2\)，化简得\(a + b=-1\)。联立方程组\(\begin{cases}a + b=-2\\a + b=-1\end{cases}\)，无解。经检查发现前面计算有误，重新计算\(f(\frac{1}{2})=f(-\frac{1}{2})\)，即\(\frac{1}{2}b + 2=-\frac{1}{2}a + 1\)，得\(a=-2b - 2\)，代入\(f(1)=f(-1)\)，即\(b + 2=-a + 1\)，可得\(b + 2=-(-2b - 2)+1\)，解得\(b=-3\)，则\(a = 4\)，所以\(a + 3b = 4 + 3\times(-3)=-5\)。

例3：已知函数\(f(x)\)满足\(f(x + 2)=-f(x)\)，且当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=x^{2}-2x\)，则\(f(10)\)等于多少 ？

分析：本题可先根据已知条件推出函数的周期，再将\(f(10)\)转化到已知区间内的函数值进行计算。

解答：由\(f(x + 2)=-f(x)\)可得\(f(x + 4)=-f(x + 2)=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(4\)。则\(f(10)=f(4\times2 + 2)=f(2)\)，当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=x^{2}-2x\)，所以\(f(2)=2^{2}-2\times2 = 0\)，即\(f(10)=0\)。

例4：若函数\(f(x)\)是周期为\(4\)的偶函数，当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=x - 1\)，则不等式\(xf(x)\gt0\)在\([-1,3]\)上的解集为多少 ？

分析：本题可先根据函数的奇偶性和周期性画出函数图象，再结合图象求解不等式。

解答：因为\(f(x)\)是周期为\(4\)的偶函数，所以\(f(x)\)的图象关于\(y\)轴对称，且周期为\(4\)。当\(x\in[0,2]\)时，\(f(x)=x - 1\)，由此可画出\(f(x)\)在\([-1,3]\)上的图象。当\(x\in[-1,0)\)时，\(-x\in(0,1]\)，则\(f(x)=f(-x)=-x - 1\)。由\(xf(x)\gt0\)可得：\(\begin{cases}x\gt0\\f(x)\gt0\end{cases}\)或\(\begin{cases}x\lt0\\f(x)\lt0\end{cases}\)。当\(x\gt0\)时，\(f(x)\gt0\)即\(x - 1\gt0\)，解得\(x\gt1\)；当\(x\lt0\)时，\(f(x)\lt0\)即\(-x - 1\lt0\)，解得\(x\gt - 1\)，所以不等式\(xf(x)\gt0\)在\([-1,3]\)上的解集为\((-1,0)\cup(1,3)\)。

例5：设函数\(f(x)\)对于任意实数\(x\)满足条件\(f(x + 2)=\frac{1}{f(x)}\)，若\(f(1)=-5\)，则\(f(f(5))\)等于多少 ？

分析：本题先根据已知条件求出函数的周期，再逐步计算\(f(f(5))\)的值。

解答：由\(f(x + 2)=\frac{1}{f(x)}\)可得\(f(x + 4)=\frac{1}{f(x + 2)}=f(x)\)，所以函数\(f(x)\)的周期为\(4\)。则\(f(5)=f(4 + 1)=f(1)=-5\)，所以\(f(f(5))=f(-5)=f(-5 + 4)=f(-1)\)。又因为\(f(x + 2)=\frac{1}{f(x)}\)，令\(x=-1\)，可得\(f(1)=\frac{1}{f(-1)}\)，即\(f(-1)=-\frac{1}{5}\)，所以\(f(f(5))=-\frac{1}{5}\) 。

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