考研数学：向量的数量积（内积）\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)

1. 数量积（内积）的定义

已知两个非零向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，它们的夹角为\(\theta\)（\(0\leq\theta\leq\pi\)），那么向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的数量积（也称为内积）是一个数量，记作\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)，且\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)。

例如，有两个向量\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)，\(\vert\vec{a}\vert = 3\)，\(\vert\vec{b}\vert = 4\)，夹角\(\theta=\frac{\pi}{3}\)，那么\(\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times4\times\cos\frac{\pi}{3}=3\times4\times\frac{1}{2}=6\)。

当\(\vec{a}\)或\(\vec{b}\)为零向量时，规定\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 0\)。

2. 数量积（内积）的几何意义

向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的数量积\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)等于\(\vec{a}\)的长度\(\vert\vec{a}\vert\)与\(\vec{b}\)在\(\vec{a}\)方向上的投影\(\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)的乘积（或者\(\vec{b}\)的长度\(\vert\vec{b}\vert\)与\(\vec{a}\)在\(\vec{b}\)方向上的投影\(\vert\vec{a}\vert\cos\theta\)的乘积）。

比如，一个物体在力\(\vec{F}\)的作用下发生位移\(\vec{s}\)，力\(\vec{F}\)与位移\(\vec{s}\)的夹角为\(\theta\)，那么力\(\vec{F}\)做的功\(W = \vec{F}\cdot\vec{s}=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{s}\vert\cos\theta\)，这里\(\vec{F}\cdot\vec{s}\)的几何意义就是力\(\vec{F}\)的大小\(\vert\vec{F}\vert\)与位移\(\vec{s}\)在力\(\vec{F}\)方向上投影\(\vert\vec{s}\vert\cos\theta\)的乘积。

3. 数量积（内积）的运算律

交换律：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)。

证明：因为\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)，\(\vec{b}\cdot\vec{a}=\vert\vec{b}\vert\vert\vec{a}\vert\cos\theta\)，而\(\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta=\vert\vec{b}\vert\vert\vec{a}\vert\cos\theta\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)。

分配律：\(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\)。

证明（几何方法）：设\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)是空间向量，把向量\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)，\(\vec{b}+\vec{c}\)的起点都移到点\(O\)，终点分别为\(B\)，\(C\)，\(D\)，则\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)，\(\overrightarrow{OC}=\vec{c}\)，\(\overrightarrow{OD}=\vec{b}+\vec{c}\)。过\(D\)作\(DA\)垂直于\(\vec{a}\)所在直线于\(A\)，过\(B\)作\(BE\)垂直于\(\vec{a}\)所在直线于\(E\)，过\(C\)作\(CF\)垂直于\(\vec{a}\)所在直线于\(F\)。根据向量投影的定义，\(\vec{b}\)在\(\vec{a}\)方向上的投影为\(\vert\vec{b}\vert\cos\angle AOB\)，\(\vec{c}\)在\(\vec{a}\)方向上的投影为\(\vert\vec{c}\vert\cos\angle AOC\)，\((\vec{b}+\vec{c})\)在\(\vec{a}\)方向上的投影为\(\vert\vec{b}+\vec{c}\vert\cos\angle AOD\)。因为\(\vert\vec{b}+\vec{c}\vert\cos\angle AOD=\vert\vec{b}\vert\cos\angle AOB+\vert\vec{c}\vert\cos\angle AOC\)，所以\(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\)。

数乘结合律：\((\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(\lambda\vec{b})\)（\(\lambda\)为实数）。

证明：\((\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\vert\lambda\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)，\(\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=\lambda(\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta)\)，\(\vec{a}\cdot(\lambda\vec{b})=\vert\vec{a}\vert\vert\lambda\vec{b}\vert\cos\theta=\vert\vec{a}\vert\vert\lambda\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)，所以\((\lambda\vec{a})\cdot\vec{b}=\lambda(\vec{a}\cdot\vec{b})=\vec{a}\cdot(\lambda\vec{b})\)。