1. 夹逼准则

数列情形

准则内容：设数列\(\{x_{n}\}\)，\(\{y_{n}\}\)，\(\{z_{n}\}\)满足：

从某项起，即\(\exists n_{0}\in N\)，当\(n > n_{0}\)时，有\(y_{n}\leqslant x_{n}\leqslant z_{n}\)。

\(\lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=a\)。

那么数列\(\{x_{n}\}\)的极限存在，且\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a\)。

证明思路：对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，因为\(\lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=a\)，所以\(\exists N_{1}\)，当\(n > N_{1}\)时，\(\vert y_{n}-a\vert<\varepsilon\)，即\(a - \varepsilon<y_{n}<a + \varepsilon\)；同理，因为\(\lim_{n\rightarrow\infty}z_{n}=a\)，\(\exists N_{2}\)，当\(n > N_{2}\)时，\(\vert z_{n}-a\vert<\varepsilon\)，即\(a - \varepsilon<z_{n}<a + \varepsilon\)。

取\(N=\max\{n_{0},N_{1},N_{2}\}\)，当\(n > N\)时，有\(a - \varepsilon<y_{n}\leqslant x_{n}\leqslant z_{n}<a + \varepsilon\)，即\(\vert x_{n}-a\vert<\varepsilon\)，所以\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a\)。

例子：求\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\)。

因为\(\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}}\leqslant\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\leqslant\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\)。

而\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1\)，\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}=1\)。

由夹逼准则可知，原式极限为\(1\)。

函数情形（\(x\rightarrow x_{0}\)）

准则内容：设函数\(f(x)\)，\(g(x)\)，\(h(x)\)在点\(x_{0}\)的某去心邻域内满足：

\(g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)\)。

\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}h(x)=A\)。

那么\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=A\)。

例子：证明\(\lim_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0\)。

因为\(-\vert x\vert\leqslant x\sin\frac{1}{x}\leqslant\vert x\vert\)。

且\(\lim_{x\rightarrow0}(-\vert x\vert)=0\)，\(\lim_{x\rightarrow0}\vert x\vert = 0\)。

由夹逼准则可得\(\lim_{x\rightarrow0}x\sin\frac{1}{x}=0\)。

2. 单调有界准则

准则内容：单调有界数列必有极限。

单调递增有上界情形的证明思路（简略）：设数列\(\{x_{n}\}\)单调递增且有上界\(M\)。根据确界原理，\(\{x_{n}\}\)有上确界，记为\(\alpha=\sup\{x_{n}\}\)。对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，\(\alpha-\varepsilon\)不是\(\{x_{n}\}\)的上界，所以\(\exists N\)，当\(n > N\)时，\(x_{n}>\alpha - \varepsilon\)。又因为\(x_{n}\leqslant\alpha\)，所以\(\vert x_{n}-\alpha\vert<\varepsilon\)，即\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\alpha\)。

例子（单调递增有上界）：设\(x_{1}=\sqrt{2}\)，\(x_{n + 1}=\sqrt{2 + x_{n}}\)，\(n = 1,2,\cdots\)。

首先证明数列单调递增：\(x_{n + 1}-x_{n}=\sqrt{2 + x_{n}}-x_{n}=\frac{2 + x_{n}-x_{n}^{2}}{\sqrt{2 + x_{n}}+x_{n}}=\frac{(2 - x_{n})(1 + x_{n})}{\sqrt{2 + x_{n}}+x_{n}}\)。

通过数学归纳法可以证明\(x_{n}<2\)，所以\(x_{n + 1}-x_{n}>0\)，即数列单调递增。

再证明数列有上界：显然\(x_{1}=\sqrt{2}<2\)，假设\(x_{n}<2\)，则\(x_{n + 1}=\sqrt{2 + x_{n}}<\sqrt{2 + 2}=2\)。

由单调有界准则可知，该数列极限存在。设\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a\)，对\(x_{n + 1}=\sqrt{2 + x_{n}}\)两边取极限得\(a=\sqrt{2 + a}\)，解得\(a = 2\)（舍去负根）。

单调递减有下界情形类似：设数列\(\{y_{n}\}\)单调递减且有下界\(m\)，则数列\(\{y_{n}\}\)有下确界，记为\(\beta=\inf\{y_{n}\}\)，同样可以证明\(\lim_{n\rightarrow\infty}y_{n}=\beta\)。

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