考研数学：函数的微分

1. 微分的基本定义

设函数\(y = f(x)\)在某区间内有定义，\(x_{0}\)及\(x_{0}+\Delta x\)在这区间内，如果函数的增量\(\Delta y = f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\)可表示为\(\Delta y = A\Delta x+o(\Delta x)\)（其中\(A\)是不依赖于\(\Delta x\)的常数），而\(o(\Delta x)\)是比\(\Delta x\)高阶的无穷小（当\(\Delta x\rightarrow0\)时），那么称函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)是可微的，\(dy = A\Delta x\)称为函数\(y = f(x)\)在点\(x_{0}\)相应于自变量增量\(\Delta x\)的微分。

例如，对于函数\(y = x^{2}\)，\(\Delta y=(x + \Delta x)^{2}-x^{2}=2x\Delta x+(\Delta x)^{2}\)，这里\(A = 2x\)，\((\Delta x)^{2}=o(\Delta x)\)（当\(\Delta x\rightarrow0\)），所以\(y = x^{2}\)在任意点\(x\)处可微，且\(dy = 2x\Delta x\)。

2. 函数可微的条件

函数\(y = f(x)\)在点\(x\)可微的充分必要条件是函数\(y = f(x)\)在点\(x\)可导，且\(dy=f^\prime(x)\Delta x\)。

例如，对于函数\(y=\sin x\)，已知\(y^\prime=\cos x\)，那么\(dy=\cos x\Delta x\)。这表明求微分实际上就是求导数后再乘以自变量的增量\(\Delta x\)。

3. 微分的几何意义

对于函数\(y = f(x)\)，微分\(dy\)表示曲线\(y = f(x)\)在点\((x,f(x))\)处切线纵坐标的增量。当\(\Delta x\)很小时，\(\Delta y\approx dy\)，即函数增量可以用微分来近似代替。

例如，对于函数\(y = x^{3}\)，在点\(x = 1\)处，设\(\Delta x = 0.1\)，\(y^\prime = 3x^{2}\)，则\(dy = 3\times1^{2}\times0.1 = 0.3\)，这是切线纵坐标的增量，而\(\Delta y=(1 + 0.1)^{3}-1^{3}\approx0.331\)，可以看到当\(\Delta x\)较小时，\(\Delta y\)和\(dy\)很接近。

4. 自变量微分的规定

通常规定自变量\(x\)的微分\(dx=\Delta x\)，这样函数\(y = f(x)\)的微分就可以写成\(dy = f^\prime(x)dx\)，从而\(\frac{dy}{dx}=f^\prime(x)\)，这也说明了导数可以看作是函数微分与自变量微分之商，所以导数也称为“微商”。例如，对于\(y = e^{x}\)，\(dy = e^{x}dx\)，\(\frac{dy}{dx}=e^{x}\)。

例题1：求函数\(y = 3x^{2}+2x - 1\)的微分

解：先对函数求导，\(y^\prime=(3x^{2}+2x - 1)^\prime = 6x + 2\)，根据微分公式\(dy = y^\prime dx\)，可得\(dy=(6x + 2)dx\) 。

例题2：求函数\(y=\sin(2x)\)的微分

解：令\(u = 2x\)，则\(y=\sin u\)，根据复合函数求导法则，\(y^\prime = (\sin u)^\prime\cdot u^\prime=\cos u\cdot2 = 2\cos(2x)\)，所以\(dy = 2\cos(2x)dx\) 。

例题3：求函数\(y = e^{x^{2}}\)的微分

解：令\(u = x^{2}\)，则\(y = e^{u}\)，\(y^\prime=(e^{u})^\prime\cdot u^\prime=e^{u}\cdot2x=2xe^{x^{2}}\)，故\(dy = 2xe^{x^{2}}dx\) 。

例题4：求函数\(y=\ln(3x + 1)\)的微分

解：根据复合函数求导法则，\(y^\prime=\frac{1}{3x + 1}\cdot(3x + 1)^\prime=\frac{3}{3x + 1}\)，所以\(dy=\frac{3}{3x + 1}dx\) 。

例题5：求函数\(y = x\sin x\)的微分

解：根据乘积的求导法则，\(y^\prime = x^\prime\sin x + x(\sin x)^\prime=\sin x + x\cos x\)，则\(dy = (\sin x + x\cos x)dx\) 。

例题6：求由方程\(x^{2}+y^{2}=25\)确定的隐函数\(y = y(x)\)的微分

解：对\(x^{2}+y^{2}=25\)两边同时求微分，得\(d(x^{2})+d(y^{2})=d(25)\)，即\(2xdx + 2ydy = 0\)，解出\(dy\)，\(dy=-\frac{x}{y}dx\) 。

例题7：求函数\(y=\frac{x^{2}+1}{x}\)的微分

解：先将函数化简为\(y = x+\frac{1}{x}\)，再求导\(y^\prime = 1-\frac{1}{x^{2}}\)，所以\(dy=(1-\frac{1}{x^{2}})dx\) 。

例题8：求函数\(y=\sqrt{x^{2}+1}\)的微分

解：令\(u = x^{2}+1\)，则\(y = u^{\frac{1}{2}}\)，根据复合函数求导法则，\(y^\prime=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\cdot u^\prime=\frac{1}{2}(x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}}\cdot2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\)，故\(dy=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}dx\) 。