1. 柯西中值定理的定义

设函数\(f(x)\)与\(g(x)\)满足：

在闭区间\([a,b]\)上连续；在开区间\((a,b)\)内可导；且对任意\(x\in(a,b)\)，\(g^{\prime}(x)\neq0\)。

那么在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}\)。

2. 柯西中值定理的几何意义

柯西中值定理的几何意义可以从参数方程的角度来理解。

如果把\(x\)看作参数，\(y = f(x)\)和\(y = g(x)\)可以看作是平面上的两条曲线的参数方程（设\(X = g(x),Y = f(x)\)）。

那么\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\)表示连接曲线\(y = f(x)\)和\(y = g(x)\)上两点\((g(a),f(a))\)与\((g(b),f(b))\)的弦的斜率。

而\(\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}\)表示在参数为\(\xi\)处，这两条曲线的切线斜率之比。定理表明，在区间\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得这两个斜率相等。

3. 证明思路

构造辅助函数\(F(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(x)\)。

可以验证\(F(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，且\(F(a)=F(b)=f(b)g(a)-f(a)g(b)\)。

根据罗尔定理，在\((a,b)\)内至少存在一点\(\xi\)，使得\(F^{\prime}(\xi)=0\)。

对\(F(x)\)求导得\(F^{\prime}(x)=[f(b)-f(a)]g^{\prime}(x)-[g(b)-g(a)]f^{\prime}(x)\)，令\(x = \xi\)，则\([f(b)-f(a)]g^{\prime}(\xi)-[g(b)-g(a)]f^{\prime}(\xi)=0\)，移项可得\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}\)。

4. 柯西中值定理的应用

证明不等式

例如，证明当\(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)时，\(\frac{\sin x}{x}>\frac{2}{\pi}\)。

设\(f(x)=\sin x\)，\(g(x)=x\)，在区间\(\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\)上，它们满足柯西中值定理的条件。

根据柯西中值定理，存在\(\xi\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)，使得\(\frac{\sin\frac{\pi}{2}-\sin0}{\frac{\pi}{2}-0}=\frac{\cos\xi}{1}\)，即\(\frac{2}{\pi}=\cos\xi\)。

因为\(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)时，\(\sin x\)是凹函数，\(\frac{\sin x}{x}>\cos\xi\)（\(\xi\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)），所以\(\frac{\sin x}{x}>\frac{2}{\pi}\)。

求极限

在求某些极限时，柯西中值定理也很有用。例如，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(0)}{g(x)-g(0)}\)（\(f(x)\)和\(g(x)\)满足柯西中值定理条件），可以根据柯西中值定理转化为\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}\)（\(\xi\)介于\(0\)和\(x\)之间），再进行进一步的计算。

证明等式

例题1：设函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，证明存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(\frac{f(b)-f(a)}{b - a}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{2\xi}\)。

证明：令\(g(x)=x^{2}\)，则\(f(x)\)与\(g(x)\)在\([a,b]\)上满足柯西中值定理的条件。根据柯西中值定理，存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}\)，即\(\frac{f(b)-f(a)}{b^{2}-a^{2}}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{2\xi}\)，化简可得\(\frac{f(b)-f(a)}{b - a}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{2\xi}\) 。

例题2：设\(f(x)\)在\([0,1]\)上连续，在\((0,1)\)内可导，证明存在\(\xi\in(0,1)\)，使得\(f(1)-f(0)=\xi f^{\prime}(\xi)\ln e\)。

证明：令\(g(x)=\ln x\)，\(f(x)\)与\(g(x)\)在\([0,1]\)上满足柯西中值定理的条件。由柯西中值定理可得，存在\(\xi\in(0,1)\)，使得\(\frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}\)，即\(\frac{f(1)-f(0)}{\ln 1-\ln 0}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{\frac{1}{\xi}}\)，因为\(\ln 1 = 0\)，\(\ln 0\)趋近于负无穷，但\(\frac{\ln 1-\ln 0}{1-0}=1\)，所以\(f(1)-f(0)=\xi f^{\prime}(\xi)\ln e=\xi f^{\prime}(\xi)\) 。

证明不等式

例题3：证明当\(x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)时，\(\frac{\tan x}{x}>\frac{1}{\cos^{2}x}\)。

证明：设\(f(x)=\tan x\)，\(g(x)=x\)，在区间\(\left[0,x\right]\)上，\(f(x)\)与\(g(x)\)满足柯西中值定理的条件。根据柯西中值定理，存在\(\xi\in\left(0,x\right)\)，使得\(\frac{\tan x - \tan 0}{x - 0}=\frac{\sec^{2}\xi}{1}\)，即\(\frac{\tan x}{x}=\sec^{2}\xi=\frac{1}{\cos^{2}\xi}\)。因为\(\xi\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)\)时，\(\cos\xi\)单调递减，所以\(\cos^{2}\xi<\cos^{2}0 = 1\)，则\(\frac{1}{\cos^{2}\xi}>1\)，即\(\frac{\tan x}{x}>\frac{1}{\cos^{2}x}\)。

例题4：证明当\(x>0\)时，\(\frac{e^{x}-1}{x}>1\)。

证明：令\(f(x)=e^{x}-1\)，\(g(x)=x\)，在\([0,x]\)上它们满足柯西中值定理的条件。则存在\(\xi\in(0,x)\)，使得\(\frac{e^{x}-1 - (e^{0}-1)}{x - 0}=\frac{e^{\xi}}{1}\)，即\(\frac{e^{x}-1}{x}=e^{\xi}\)。因为\(\xi>0\)时，\(e^{\xi}>e^{0}=1\)，所以\(\frac{e^{x}-1}{x}>1\)。

求极限

例题5：求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-e^{\sin x}}{x-\sin x}\)。

解：设\(f(x)=e^{x}-e^{\sin x}\)，\(g(x)=x-\sin x\)，\(f(x)\)与\(g(x)\)在\([0,x]\)上满足柯西中值定理的条件。则存在\(\xi\in(0,x)\)，使得\(\frac{e^{x}-e^{\sin x}}{x-\sin x}=\frac{e^{\xi}-e^{\sin\xi}\cos\xi}{1-\cos\xi}\)。当\(x\rightarrow0\)时，\(\xi\rightarrow0\)，对\(\frac{e^{\xi}-e^{\sin\xi}\cos\xi}{1-\cos\xi}\)使用等价无穷小替换，\(e^{\xi}-e^{\sin\xi}\cos\xi\)等价于\(\xi-\sin\xi\cos\xi\)，\(1-\cos\xi\)等价于\(\frac{1}{2}\xi^{2}\)，则原式极限为\(\lim_{\xi\rightarrow0}\frac{\xi-\sin\xi\cos\xi}{\frac{1}{2}\xi^{2}}=\lim_{\xi\rightarrow0}\frac{1-\cos^{2}\xi+\sin\xi\sin\xi}{ \xi}=2\) 。

例题6：计算\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\sin\cos x-\sin\sin1}{\cos\cos\cos x-\cos\cos1}\).

解：设\(f(x)=\sin\sin x\)，\(g(x)=\cos\cos x\)，由柯西中值定理知，存在\(\xi\in(\cos x,1)\)，使得\(\frac{f(\cos x)-f(1)}{g(\cos x)-g(1)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}\)。当\(x\rightarrow0\)时，\(\xi\rightarrow1\)，所以\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin\sin\cos x-\sin\sin1}{\cos\cos\cos x-\cos\cos1}=\lim_{\xi\rightarrow1}\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\lim_{\xi\rightarrow1}\frac{\cos\sin\xi\cos\xi}{\sin\cos\xi\sin\xi}=\frac{\cos\sin1\cos1}{\sin\cos1\sin1}\) 。

综合应用

例题7：设函数\(f(x)\)在\((a,b)\)上三阶可导，证明：存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(f(b)=f(a)+\frac{1}{2}(b - a)(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b))-\frac{1}{12}(b - a)^{3}f^{\prime\prime\prime}(\xi)\).

证明：构造辅助函数\(F(x)=f(x)-\left[f(a)+\frac{1}{2}(x - a)(f^{\prime}(a)+f^{\prime}(x))+\frac{1}{12}(x - a)^{3}k\right]\)，\(G(x)=(x - a)^{3}\)，其中\(k\)为待定常数。对\(F(x)\)和\(G(x)\)应用柯西中值定理两次，通过一系列推导和计算可确定\(k = f^{\prime\prime\prime}(\xi)\)，从而得证。

例题8：设\(f(x)\)在\([0,1]\)上连续，在\((0,1)\)内可导，且\(f(0)=0\)，\(f(1)=1\)，证明存在\(\xi,\eta\in(0,1)\)，\(\xi\neq\eta\)，使得\(f^{\prime}(\xi)f^{\prime}(\eta)=1\)。

证明：由介值定理可知，存在\(c\in(0,1)\)，使得\(f(c)=\frac{1}{2}\)。对\(f(x)\)在\([0,c]\)和\([c,1]\)上分别应用拉格朗日中值定理，可得\(f^{\prime}(\xi)=\frac{f(c)-f(0)}{c - 0}=\frac{\frac{1}{2}}{c}\)，\(f^{\prime}(\eta)=\frac{f(1)-f(c)}{1 - c}=\frac{1-\frac{1}{2}}{1 - c}=\frac{\frac{1}{2}}{1 - c}\)，则\(f^{\prime}(\xi)f^{\prime}(\eta)=\frac{\frac{1}{2}}{c}\cdot\frac{\frac{1}{2}}{1 - c}=1\)，解出\(c=\frac{1}{2}\)，此时\(\xi\in(0,\frac{1}{2})\)，\(\eta\in(\frac{1}{2},1)\)，满足\(\xi\neq\eta\) 。

复杂函数证明

例题9：设函数\(f(x)\)在\([x_{1},x_{2}]\)上可导，且\(0<x_{1}<x_{2}\)，证明存在\(\xi\in(x_{1},x_{2})\)，使得\(\frac{x_{1}f(x_{2})-x_{2}f(x_{1})}{x_{1}-x_{2}}=f(\xi)-\xi f^{\prime}(\xi)\)。

证明：令\(F(x)=\frac{f(x)}{x}\)，\(G(x)=\frac{1}{x}\)，在\([x_{1},x_{2}]\)上\(F(x)\)与\(G(x)\)满足柯西中值定理的条件。则存在\(\xi\in(x_{1},x_{2})\)，使得\(\frac{F(x_{2})-F(x_{1})}{G(x_{2})-G(x_{1})}=\frac{F^{\prime}(\xi)}{G^{\prime}(\xi)}\)，经过计算和化简可得\(\frac{x_{1}f(x_{2})-x_{2}f(x_{1})}{x_{1}-x_{2}}=f(\xi)-\xi f^{\prime}(\xi)\) 。

例题10：设函数\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导，\(g(x)\)在\([a,b]\)上可积且不变号，证明存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_{a}^{b}g(x)dx\)。

证明：设\(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)g(t)dt\)，\(G(x)=\int_{a}^{x}g(t)dt\)，\(F(x)\)与\(G(x)\)在\([a,b]\)上满足柯西中值定理的条件。则存在\(\xi\in(a,b)\)，使得\(\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}=\frac{F^{\prime}(\xi)}{G^{\prime}(\xi)}\)，而\(F^{\prime}(x)=f(x)g(x)\)，\(G^{\prime}(x)=g(x)\)，所以\(\frac{\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx}{\int_{a}^{b}g(x)dx}=f(\xi)\)，即\(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_{a}^{b}g(x)dx\) 。

高等数学