考研数学：平面的一般方程
1. 平面的一般方程定义
平面的点法式方程\(A(x - x_{0})+B(y - y_{0})+C(z - z_{0}) = 0\)展开后可得到
\(Ax+By + Cz - (Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0})=0\)
令\(D=-(Ax_{0}+By_{0}+Cz_{0})\)，则方程变为\(Ax + By + Cz+D = 0\)，这就是平面的一般方程。
其中\(A\)、\(B\)、\(C\)是平面的法向量的坐标，且\(A\)、\(B\)、\(C\)不同时为\(0\)。
2. 特殊情况及几何意义
当\(D = 0\)时：方程为\(Ax+By + Cz = 0\)，此时平面过原点\((0,0,0)\)。因为把原点坐标代入方程，等式成立。
当\(A = 0\)时：方程变为\(By + Cz+D = 0\)，此时平面的法向量为\((0,B,C)\)，平面平行于\(x\)轴。例如，平面方程\(y + z=1\)，它的法向量为\((0,1,1)\)，该平面与\(x\)轴平行。
当\(B = 0\)时：方程为\(Ax + Cz+D = 0\)，平面平行于\(y\)轴。比如平面方程\(x+z = 1\)，其法向量为\((1,0,1)\)，平面与\(y\)轴平行。
当\(C = 0\)时：方程是\(Ax+By + D = 0\)，平面平行于\(z\)轴。如平面方程\(x + y=1\)，法向量为\((1,1,0)\)，平面与\(z\)轴平行。
当\(A = B = 0\)时：方程为\(Cz+D = 0\)（\(C\neq0\)），平面平行于\(xOy\)平面。例如，\(z = 1\)这个平面方程，它平行于\(xOy\)平面。
3. 应用示例
例1：将平面的一般方程\(2x - 3y+z - 6 = 0\)化为点法式方程。
先求平面上的一点，令\(y = z = 0\)，则\(2x-6 = 0\)，解得\(x = 3\)，所以平面过点\((3,0,0)\)。
平面的法向量为\(\vec{n}=(2,-3,1)\)。
则点法式方程为\(2(x - 3)-3(y - 0)+(z - 0)=0\)。
例2：求平面\(3x + y - z+2 = 0\)与坐标轴的交点。
与\(x\)轴交点：令\(y = z = 0\)，则\(3x+2 = 0\)，解得\(x=-\frac{2}{3}\)，交点为\((-\frac{2}{3},0,0)\)。
与\(y\)轴交点：令\(x = z = 0\)，则\(y + 2 = 0\)，解得\(y=-2\)，交点为\((0,-2,0)\)。
与\(z\)轴交点：令\(x = y = 0\)，则\(-z+2 = 0\)，解得\(z = 2\)，交点为\((0,0,2)\)。
例3：判断平面\(x - 2y+3z - 4 = 0\)与平面\(2x - 4y+6z - 8 = 0\)的关系。
两个平面的法向量分别为\(\vec{n}_{1}=(1,-2,3)\)和\(\vec{n}_{2}=(2,-4,6)\)。
可以发现\(\vec{n}_{2}=2\vec{n}_{1}\)，这说明两个平面的法向量平行。
又因为将平面\(x - 2y+3z - 4 = 0\)两边同时乘以\(2\)就得到平面\(2x - 4y+6z - 8 = 0\)，所以这两个平面是重合的。
