考研数学：函数的单调性

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1. 定义：单调增加、单调减少

设函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上有定义。对于区间\(I\)内的任意两点\(x_{1}\)和\(x_{2}\)：

（1）当\(x_{1}<x_{2}\)时，恒有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)，那么就称函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上是单调增加的；

（2）当\(x_{1}<x_{2}\)时，恒有\(f(x_{1})>f(x_{2})\)，那么就称函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上是单调减少的。

例如，函数\(y = x^{2}\)在区间\((0,+\infty)\)上是单调增加的。

因为对于任意的\(x_{1},x_{2}\in(0,+\infty)\)，且\(x_{1}<x_{2}\)，有\(f(x_{1})=x_{1}^{2}\)，\(f(x_{2}) = x_{2}^{2}\)，那么

\(f(x_{2})-f(x_{1})=x_{2}^{2}-x_{1}^{2}=(x_{2} - x_{1})(x_{2}+x_{1})>0\)，所以\(f(x_{1})<f(x_{2})\)。

而在区间\((-\infty,0)\)上是单调减少的，\(f(x_{2})-f(x_{1})=(x_{2}-x_{1})(x_{2} + x_{1})<0\)，即\(f(x_{1})>f(x_{2})\)。

2. 导数与单调性的关系

设函数\(y = f(x)\)在\([a,b]\)上连续，在\((a,b)\)内可导。

（1）如果在\((a,b)\)内\(f^{\prime}(x)>0\)，那么函数\(y = f(x)\)在\([a,b]\)上单调增加；

（2）如果在\((a,b)\)内\(f^{\prime}(x)<0\)，那么函数\(y = f(x)\)在\([a,b]\)上单调减少。

例如，函数\(y = e^{x}\)，它的导数\(y^{\prime}=e^{x}\)。

因为对于任意的\(x\in(-\infty,+\infty)\)，\(e^{x}>0\)，所以函数\(y = e^{x}\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调增加。

例如，函数\(y=\cos x\)，其导数\(y^{\prime}=-\sin x\)。

在区间\((0,\pi)\)上，\(\sin x>0\)，则\(y^{\prime}=-\sin x < 0\)，所以\(y = \cos x\)在\((0,\pi)\)上单调减少。

3. 求函数单调区间的步骤

第一步，确定函数\(y = f(x)\)的定义域。

第二步，求出函数的导数\(f^{\prime}(x)\)。

第三步，令\(f^{\prime}(x)=0\)，求出函数的驻点（导数为\(0\)的点），以及导数不存在的点。这些点将定义域分成若干个子区间。

第四步，在每个子区间内判断\(f^{\prime}(x)\)的符号。如果\(f^{\prime}(x)>0\)，则函数在该子区间单调增加；如果\(f^{\prime}(x)<0\)，则函数在该子区间单调减少。

例1：求函数\(y = 2x^{3}- 3x^{2}-12x + 1\)的单调区间

第一步：函数的定义域为\((-\infty,+\infty)\)。

第二步：对函数求导，\(y^{\prime}=6x^{2}-6x - 12 = 6(x^{2}-x - 2)=6(x - 2)(x + 1)\)。

第三步：令\(y^{\prime}=0\)，即\(6(x - 2)(x + 1)=0\)，解得\(x = 2\)或\(x=-1\)。这两个点将定义域分成三个子区间\((-\infty,-1)\)，\((-1,2)\)，\((2,+\infty)\)。

第四步：在区间\((-\infty,-1)\)内，取\(x=-2\)，则\(y^{\prime}=6\times(-2 - 2)\times(-2 + 1)=24>0\)，所以函数在\((-\infty,-1)\)上单调增加。在区间\((-1,2)\)内，取\(x = 0\)，则\(y^{\prime}=6\times(0 - 2)\times(0 + 1)= - 12<0\)，所以函数在\((-1,2)\)上单调减少。在区间\((2,+\infty)\)内，取\(x = 3\)，则\(y^{\prime}=6\times(3 - 2)\times(3 + 1)=24>0\)，所以函数在\((2,+\infty)\)上单调增加。

例2：求函数\(y=\frac{1}{3}x^{3}-x\)的单调区间

第一步：定义域是\((-\infty,+\infty)\)。

第二步：求导得\(y^{\prime}=x^{2}-1=(x - 1)(x + 1)\)。

第三步：令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x = 1\)或\(x=-1\)，将定义域分成\((-\infty,-1)\)，\((-1,1)\)，\((1,+\infty)\)。

第四步：在\((-\infty,-1)\)内，取\(x=-2\)，\(y^{\prime}=(-2 - 1)(-2 + 1)=3>0\)，函数在\((-\infty,-1)\)上单调增加。在\((-1,1)\)内，取\(x = 0\)，\(y^{\prime}=(0 - 1)(0 + 1)=-1<0\)，函数在\((-1,1)\)上单调减少。在\((1,+\infty)\)内，取\(x = 2\)，\(y^{\prime}=(2 - 1)(2 + 1)=3>0\)，函数在\((1,+\infty)\)上单调增加。

例3：求函数\(y = x+\frac{1}{x}\)（\(x\neq0\)）的单调区间

第一步：定义域为\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)。

第二步：求导\(y^{\prime}=1-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}=\frac{(x - 1)(x + 1)}{x^{2}}\)。

第三步：令\(y^{\prime}=0\)，得\(x = 1\)或\(x=-1\)，再加上\(x = 0\)这个导数不存在的点，将定义域分成\((-\infty,-1)\)，\((-1,0)\)，\((0,1)\)，\((1,+\infty)\)。

第四步：在\((-\infty,-1)\)内，取\(x=-2\)，\(y^{\prime}=\frac{(-2 - 1)(-2 + 1)}{(-2)^{2}}=\frac{3}{4}>0\)，函数在\((-\infty,-1)\)上单调增加。在\((-1,0)\)内，取\(x = -\frac{1}{2}\)，\(y^{\prime}=\frac{(-\frac{1}{2}-1)(-\frac{1}{2}+1)}{(-\frac{1}{2})^{2}}=-3<0\)，函数在\((-1,0)\)上单调减少。在\((0,1)\)内，取\(x=\frac{1}{2}\)，\(y^{\prime}=\frac{(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}+1)}{(\frac{1}{2})^{2}}=-3<0\)，函数在\((0,1)\)上单调减少。在\((1,+\infty)\)内，取\(x = 2\)，\(y^{\prime}=\frac{(2 - 1)(2 + 1)}{2^{2}}=\frac{3}{4}>0\)，函数在\((1,+\infty)\)上单调增加。

例4：求函数\(y=\ln(x^{2}+1)\)的单调区间

第一步：定义域为\((-\infty,+\infty)\)。

第二步：求导\(y^{\prime}=\frac{2x}{x^{2}+1}\)。

第三步：令\(y^{\prime}=0\)，则\(2x = 0\)，解得\(x = 0\)。将定义域分成\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)。

第四步：在\((-\infty,0)\)内，取\(x=-1\)，\(y^{\prime}=\frac{2\times(-1)}{(-1)^{2}+1}=-1<0\)，函数在\((-\infty,0)\)上单调减少。在\((0,+\infty)\)内，取\(x = 1\)，\(y^{\prime}=\frac{2\times1}{1^{2}+1}=1>0\)，函数在\((0,+\infty)\)上单调增加。