考研数学：微分方程的基本概念
1. 微分方程的定义
微分方程是指含有未知函数及其导数（或微分）的方程。例如，\(y' + 2y = 0\)，\(y'' - 3y' + 2y = e^x\)，\(xdy + ydx = 0\)等都是微分方程。这里\(y\)是未知函数，\(y'\)、\(y''\)分别是\(y\)的一阶导数和二阶导数。
2. 微分方程的阶
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。例如，\(y' + 2y = 0\)是一阶微分方程，因为方程中出现的最高阶导数是一阶导数\(y'\)；\(y'' - 3y' + 2y = e^x\)是二阶微分方程，因为最高阶导数是二阶导数\(y''\)。
3. 微分方程的解
通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。例如，对于一阶微分方程\(y' = 2x\)，其通解为\(y = x^2 + C\)（\(C\)为任意常数）。对于二阶微分方程\(y'' + y = 0\)，其通解为\(y = C_1\cos x + C_2\sin x\)（\(C_1\)、\(C_2\)为任意常数）。
特解：在通解中确定了任意常数的特定值后得到的解，称为微分方程的特解。例如，对于上述一阶微分方程\(y' = 2x\)的通解\(y = x^2 + C\)，若给定条件\(y(0)=1\)，将\(x = 0\)，\(y = 1\)代入通解可得\(1 = 0 + C\)，即\(C = 1\)，此时\(y = x^2 + 1\)就是满足给定条件的特解。
4. 初始条件
用来确定通解中任意常数的条件称为初始条件。对于一阶微分方程，通常是给出\(y(x_0)=y_0\)的条件，其中\(x_0\)和\(y_0\)是给定的值；对于二阶微分方程，通常是给出\(y(x_0)=y_0\)和\(y'(x_0)=y_0'\)的条件，即同时给定函数在某一点的值和它的一阶导数在该点的值。例如，对于二阶微分方程\(y'' - 3y' + 2y = 0\)，初始条件可以是\(y(0)=1\)，\(y'(0)=2\)。
5. 积分曲线
微分方程的解\(y = y(x)\)在平面直角坐标系\(xOy\)中的图形称为该微分方程的积分曲线。通解的图形是一族积分曲线，而特解的图形是其中的一条特定的积分曲线。例如，对于微分方程\(y' = x\)，通解为\(y=\frac{1}{2}x^2 + C\)，这表示一族抛物线，每给定一个\(C\)值就确定一条具体的抛物线，也就是一条积分曲线。
