1. 向量加法

已知空间向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)，在空间任取一点\(A\)，作\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{BC}=\vec{b}\)，则向量\(\overrightarrow{AC}\)叫做向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的和，记作\(\vec{a}+\vec{b}\)。这种求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

交换律：

\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)

例如，在空间直角坐标系中，设\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec{b}=(3,2,1)\)，那么\(\vec{a}+\vec{b}=(1 + 3,2+2,3 + 1)=(4,4,4)\)，\(\vec{b}+\vec{a}=(3+1,2 + 2,1+3)=(4,4,4)\)，可以验证交换律成立。

结合律：

\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)

比如，设\(\vec{a}=(1,0,0)\)，\(\vec{b}=(0,1,0)\)，\(\vec{c}=(0,0,1)\)，\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=((1,0,0)+(0,1,0))+(0,0,1)=(1,1,0)+(0,0,1)=(1,1,1)\)，\(\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(1,0,0)+((0,1,0)+(0,0,1))=(1,0,0)+(0,1,1)=(1,1,1)\)，从而验证了结合律。

2. 向量减法

已知空间向量\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)，则向量\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)。也就是说，减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。

几何意义：

在空间任取一点\(O\)，作\(\overrightarrow{OA}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{OB}=\vec{b}\)，则向量\(\overrightarrow{BA}=\vec{a}-\vec{b}\)。

例如，在一个平行四边形\(ABCD\)中，\(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{AD}=\vec{b}\)，那么\(\overrightarrow{DB}=\vec{a}-\vec{b}\)。

3. 向量数乘

实数\(\lambda\)与空间向量\(\vec{a}\)的乘积\(\lambda\vec{a}\)仍然是一个向量，称为向量的数乘。

运算规则：

当\(\lambda> 0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)方向相同；当\(\lambda < 0\)时，\(\lambda\vec{a}\)与\(\vec{a}\)方向相反；当\(\lambda = 0\)时，\(\lambda\vec{a}=\vec{0}\)。

\(\vert\lambda\vec{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert\)。

例如，设\(\vec{a}=(1,2,3)\)，当\(\lambda = 2\)时，\(\lambda\vec{a}=2(1,2,3)=(2\times1,2\times2,2\times3)=(2,4,6)\)，此时\(\vert\lambda\vec{a}\vert=\sqrt{2^{2}+4^{2}+6^{2}}=\sqrt{4 + 16+36}=\sqrt{56}\)，\(\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert = 2\times\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=2\times\sqrt{1 + 4 + 9}=2\sqrt{14}=\sqrt{56}\)，可以验证\(\vert\lambda\vec{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert\)。

4. 向量线性运算的综合应用

向量的线性运算可以用来解决很多几何问题。例如，在证明空间中的线面平行问题时，如果能找到平面内的两个不共线向量\(\vec{m}\)和\(\vec{n}\)，以及直线的方向向量\(\vec{s}\)，若存在实数\(\lambda\)和\(\mu\)，使得\(\vec{s}=\lambda\vec{m}+\mu\vec{n}\)，则可以证明直线与平面平行。

又如，在求空间中两点之间的向量关系时，利用向量的加法和减法运算可以很方便地表示。设空间中有两点\(A(x_{1},y_{1},z_{1})\)和\(B(x_{2},y_{2},z_{2})\)，则向量\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})\)，这是通过向量减法运算得到的，在这个过程中就用到了向量的线性运算规则。

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