考研数学：用切线法求方程的近似解
1. 切线法（牛顿迭代法）的原理
切线法是一种求解方程\(f(x) = 0\)的迭代方法。
基本思想：利用函数\(y = f(x)\)在某一点处的切线来近似代替函数曲线，然后求出切线与\(x\)轴的交点，将这个交点作为方程根的新的近似值，不断重复这个过程，直到达到所需的精度。
设函数\(y = f(x)\)在区间\([a,b]\)上具有二阶导数，且\(f(a)f(b)<0\)，\(f^{\prime}(x)\)和\(f^{\prime \prime}(x)\)在区间\([a,b]\)上保持符号不变。
如果\(f(a)f^{\prime \prime}(a)>0\)，则取初始值\(x_{0}=a\)；如果\(f(b)f^{\prime \prime}(b)>0\)，则取初始值\(x_{0}=b\)。
2. 切线法（牛顿迭代法）的迭代公式推导
设\(x_{n}\)是第\(n\)次迭代得到的近似根，函数\(y = f(x)\)在点\(x_{n}\)处的切线方程为\(y - f(x_{n})=f^{\prime}(x_{n})(x - x_{n})\)。
令\(y = 0\)，则切线与\(x\)轴交点的横坐标\(x_{n + 1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})}\)，这就是切线法（牛顿迭代法）的迭代公式。
例如，用切线法求方程\(x^{3}-x - 1 = 0\)的近似解。
设\(f(x)=x^{3}-x - 1\)，则\(f^{\prime}(x)=3x^{2}-1\)。
因为\(f(1)= - 1\)，\(f(2)=5\)，\(f^{\prime \prime}(x)=6x>0\)（\(x>0\)），\(f(2)f^{\prime \prime}(2)>0\)，所以取初始值\(x_{0}=2\)。
第一次迭代：
根据迭代公式\(x_{n + 1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f^{\prime}(x_{n})}\)，\(n = 0\)时，\(x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f^{\prime}(x_{0})}\)。
\(f(2)=5\)，\(f^{\prime}(2)=3\times2^{2}-1 = 11\)，则\(x_{1}=2-\frac{5}{11}=\frac{17}{11}\approx1.545\)。
第二次迭代：
\(n = 1\)，\(x_{2}=x_{1}-\frac{f(x_{1})}{f^{\prime}(x_{1})}\)。
\(f(\frac{17}{11})=(\frac{17}{11})^{3}-\frac{17}{11}-1=\frac{4913}{1331}-\frac{17}{11}-1=\frac{4913 - 2057 - 1331}{1331}=\frac{1525}{1331}\)。
\(f^{\prime}(\frac{17}{11})=3\times(\frac{17}{11})^{2}-1=\frac{867}{121}-1=\frac{746}{121}\)。
则\(x_{2}=\frac{17}{11}-\frac{\frac{1525}{1331}}{\frac{746}{121}}=\frac{17}{11}-\frac{1525\times121}{1331\times746}\approx1.355\)。
可以继续进行迭代，直到满足精度要求为止。例如，如果要求精度达到\(\vert x_{n + 1}-x_{n}\vert<\varepsilon\)（\(\varepsilon\)为给定的精度值），通过不断迭代，就可以得到满足精度要求的方程近似解。
用C++求解方程 \(f(x) =x^{3}-x - 1 = 0\)
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
// 定义要求解的方程
double equation(double x) {
return x * x * x - x - 1;
}
// 定义方程的导数
double derivative(double x) {
return 3 * x * x - 1;
}
// 切线法（牛顿迭代法）：基于当前近似解处的函数值和导数值，按照迭代公式不断更新近似解，当相邻两次近似解的差值小于精度要求时停止迭代。
double newtonMethod(double initialGuess, double tolerance) {
double xn = initialGuess;
double xnPlus1;
do {
xnPlus1 = xn - equation(xn) / derivative(xn);
if (fabs(xnPlus1 - xn) < tolerance)
break;
xn = xnPlus1;
} while (true);
return xnPlus1;
}
可以使用以下方式调用切线法函数：
int main() {
double initialGuess = 2; // 初始猜测值
double tolerance = 0.0001; // 精度要求
double root = newtonMethod(initialGuess, tolerance);
cout << "切线法（牛顿迭代法）求得的近似根为: " << root << endl;
return 0;
}
