1. 常系数线性微分方程组的基本形式

一般形式为\(\begin{cases}y_1' = a_{11}y_1 + a_{12}y_2+\cdots + a_{1n}y_n + f_1(x)\\y_2' = a_{21}y_1 + a_{22}y_2+\cdots + a_{2n}y_n + f_2(x)\\\cdots\\y_n' = a_{n1}y_1 + a_{n2}y_2+\cdots + a_{nn}y_n + f_n(x)\end{cases}\)

其中\(a_{ij}\)（\(i,j = 1,2,\cdots,n\)）是常数，\(y_i\)是关于\(x\)的函数，\(f_i(x)\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)）是已知函数。当\(f_1(x)=f_2(x)=\cdots=f_n(x)=0\)时，方程组为齐次的；否则为非齐次的。

例如，对于二阶的方程组\(\begin{cases}y_1' = 2y_1 + y_2\\y_2' = y_1 + 2y_2\end{cases}\)是齐次常系数线性微分方程组。

2. 齐次常系数线性微分方程组的求解方法

特征值法：对于齐次方程组\(\begin{cases}y_1' = a_{11}y_1 + a_{12}y_2+\cdots + a_{1n}y_n\\y_2' = a_{21}y_1 + a_{22}y_2+\cdots + a_{2n}y_n\\\cdots\\y_n' = a_{n1}y_1 + a_{n2}y_2+\cdots + a_{nn}y_n\end{cases}\)，

设\(\boldsymbol{Y}=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\cdots\\y_n\end{pmatrix}\)，\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\)，则方程组可写成\(\boldsymbol{Y}'=\boldsymbol{A}\boldsymbol{Y}\)。

假设\(\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{\varphi}(x)e^{\lambda x}\)，其中\(\boldsymbol{\varphi}(x)=\begin{pmatrix}\varphi_1(x)\\\varphi_2(x)\\\cdots\\\varphi_n(x)\end{pmatrix}\)是一个列向量函数，代入\(\boldsymbol{Y}'=\boldsymbol{A}\boldsymbol{Y}\)得到\((\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{\varphi}(x)=0\)，其中\(\boldsymbol{E}\)是单位矩阵。

求矩阵\(\boldsymbol{A}\)的特征值\(\lambda_i\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)），即求解特征方程\(\vert\lambda\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}\vert = 0\)。对于每个特征值\(\lambda_i\)，求对应的特征向量\(\boldsymbol{\xi}_i\)，解齐次线性方程组\((\lambda_i\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})\boldsymbol{\xi}_i = 0\)。

若特征值\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)是互不相同的，对应的特征向量为\(\boldsymbol{\xi}_1,\boldsymbol{\xi}_2,\cdots,\boldsymbol{\xi}_n\)，则方程组的通解为\(\boldsymbol{Y}=C_1\boldsymbol{\xi}_1e^{\lambda_1x}+C_2\boldsymbol{\xi}_2e^{\lambda_2x}+\cdots + C_n\boldsymbol{\xi}_ne^{\lambda_nx}\)，其中\(C_1,C_2,\cdots,C_n\)是任意常数。

若有重特征值，例如\(\lambda\)是\(k\)重特征值，除了求出\(k\)个线性无关的特征向量对应的解外，可能还需要求形如\(\boldsymbol{Y}=x^m\boldsymbol{\xi}e^{\lambda x}\)（\(m = 1,2,\cdots,k - 1\)）的广义特征向量对应的解，具体情况要根据矩阵的约当标准形等来确定。

3. 非齐次常系数线性微分方程组的求解方法

先求对应的齐次方程组的通解\(\boldsymbol{Y}_h\)，方法如上述齐次方程组的求解。

然后求非齐次方程组的一个特解\(\boldsymbol{Y}^*\)。对于一些简单形式的非齐次项，例如\(\boldsymbol{F}(x)=\begin{pmatrix}P_1(x)\\P_2(x)\\\cdots\\P_n(x)\end{pmatrix}\)，其中\(P_i(x)\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)）是多项式函数，可以设特解的形式与非齐次项类似，通过代入方程组确定系数来求解。

非齐次方程组的通解为\(\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{Y}_h+\boldsymbol{Y}^*\)。

4. 应用场景和重要性

应用场景：常系数线性微分方程组在多个领域有广泛应用。在物理中，例如在多自由度振动系统中，如双摆系统、耦合弹簧振子系统等，描述各个物体的位移、速度等物理量随时间的变化关系时，会得到常系数线性微分方程组。在电路分析中，对于多个相互耦合的电路元件（如电感、电容、电阻组成的复杂电路），通过基尔霍夫定律建立的方程组也可能是常系数线性微分方程组，用于研究电路中的电流、电压等物理量的动态变化。

重要性：它是处理多个相互关联的动态过程的重要数学工具，能够帮助我们从系统的角度理解和预测各种物理、工程等现象的变化规律。考研中对常系数线性微分方程组的考查，有助于选拔具有系统分析和解决复杂问题能力的学生。

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