1. 直接积分法

原理：直接利用基本积分表和不定积分的性质（线性性质）来计算不定积分。

基本积分表包含了如幂函数、指数函数、三角函数、反三角函数等常见函数的积分公式。

示例：计算\(\int(3x^{2}+2x + 1)dx\)。

根据不定积分的线性性质\(\int [k_{1}f(x)+k_{2}g(x)]dx = k_{1}\int f(x)dx + k_{2}\int g(x)dx\)，将原式拆分为：

\(\int 3x^{2}dx+\int 2xdx+\int 1dx\)。

再根据基本积分表，\(\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq - 1\)），可得

\(\int 3x^{2}dx = 3\times\frac{1}{3}x^{3}+C_{1}=x^{3}+C_{1}\)

\(\int 2xdx = 2\times\frac{1}{2}x^{2}+C_{2}=x^{2}+C_{2}\)

\(\int 1dx=x + C_{3}\)

所以\(\int(3x^{2}+2x + 1)dx=x^{3}+x^{2}+x + C\)（\(C = C_{1}+C_{2}+C_{3}\)）。

2. 第一类换元积分法（凑微分法）

原理：设\(u = \varphi(x)\)在区间\(I\)上可导，且\(\int f(u)du = F(u)+C\)，如果\(F^\prime(u)=f(u)\)，则

\(\int f[\varphi(x)]\varphi^\prime(x)dx=\int f(u)du=F(u)+C=F[\varphi(x)]+C\)。

本质上是将被积表达式凑成某个函数的微分形式，然后利用已知的积分公式进行积分。

示例：计算\(\int 2x\cos(x^{2})dx\)。

令\(u = x^{2}\)，则\(du = 2xdx\)，原式可化为\(\int\cos udu=\sin u + C\)，再将\(u = x^{2}\)代回，得到

\(\int 2x\cos(x^{2})dx=\sin(x^{2})+C\)

3. 第二类换元积分法

原理：设\(x = \varphi(t)\)是单调可导函数，且\(\varphi^\prime(t)\neq0\)，如果\(\int f[\varphi(t)]\varphi^\prime(t)dt = F(t)+C\)，则\(\int f(x)dx = F[\varphi^{-1}(x)]+C\)。通常用于被积函数含有根式等复杂形式，通过换元去掉根式，简化积分。

示例：计算\(\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx\)（\(x>1\)）。

令\(x = \sec t\)（\(0 < t <\frac{\pi}{2}\)），则\(dx=\sec t\tan tdt\)。原式变为

\(\int\frac{1}{\sqrt{\sec^{2}t - 1}}\sec t\tan tdt=\int\frac{\sec t\tan t}{\tan t}dt=\int\sec tdt=\ln|\sec t+\tan t|+C\)

再根据\(x = \sec t\)，可得\(\tan t=\sqrt{\sec^{2}t - 1}=\sqrt{x^{2}-1}\)，所以\(\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^{2}-1}|+C\)

4. 分部积分法

原理：根据乘积的求导公式\((uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime\)，移项可得\(uv^\prime=(uv)^\prime - u^\prime v\)，两边积分得到\(\int uv^\prime dx = uv-\int u^\prime vdx\)，通常用于被积函数是两个不同类型函数乘积的情况，如\(x\sin x\)、\(x^{n}e^{x}\)等。

示例：计算\(\int x\sin xdx\)。

设\(u = x\)，\(v^\prime=\sin x\)，则\(u^\prime = 1\)，\(v = -\cos x\)。

根据分部积分公式\(\int uv^\prime dx = uv-\int u^\prime vdx\)，可得

\(\int x\sin xdx=-x\cos x-\int(-\cos x)dx=-x\cos x+\sin x + C\)

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