1. 弧微分的定义

设函数\(y = f(x)\)在区间\((a,b)\)内具有连续导数，在曲线\(y = f(x)\)上取固定点\(M_{0}(x_{0},y_{0})\)作为度量弧长的基点，对于曲线上任意一点\(M(x,y)\)，规定：

当\(x>x_{0}\)时，有向弧段\(\widehat{M_{0}M}\)的长度\(s\)是正值；当\(x < x_{0}\)时，\(s\)是负值。

则\(s\)是\(x\)的函数，记作\(s = s(x)\)，\(ds\)就称为弧微分。

2. 弧微分的计算公式推导

设曲线\(y = f(x)\)，对于曲线上两点\(M(x,y)\)和\(N(x+\Delta x,y + \Delta y)\)，根据两点间距离公式，弦长\(\vert MN\vert=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\)。

当\(\Delta x\to0\)时，弧长\(\Delta s\)近似等于弦长\(\vert MN\vert\)，\(\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)\)，由导数定义\(y^{\prime}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\)，所以\(\Delta y\approx y^{\prime}\Delta x\)（当\(\Delta x\)很小时）。

那么弦长\(\vert MN\vert=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\approx\sqrt{(\Delta x)^{2}+(y^{\prime}\Delta x)^{2}}=\sqrt{1 + y^{\prime 2}}\vert\Delta x\vert\)。

因为当\(\Delta x\to0\)时，\(\Delta s\approx\vert MN\vert\)，且当\(\Delta x>0\)时，\(\Delta s>0\)；当\(\Delta x < 0\)时，\(\Delta s < 0\)，所以

弧微分的计算公式：\(ds=\sqrt{1 + y^{\prime 2}}dx\)

例1：求圆\(x^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)\)的弧微分

首先对圆的方程\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)进行隐函数求导。

对\(x\)求导得\(2x + 2y\cdot y^{\prime}=0\)，解出\(y^{\prime}=-\frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)）。

然后根据弧微分公式\(ds=\sqrt{1 + y^{\prime 2}}dx\)，将\(y^{\prime}=-\frac{x}{y}\)代入可得：

\(ds=\sqrt{1+\left(-\frac{x}{y}\right)^{2}}dx=\sqrt{\frac{y^{2}+x^{2}}{y^{2}}}dx\)。

因为\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)，所以\(ds=\frac{r}{\vert y\vert}dx\)。

若用参数方程来表示圆，\(x = r\cos t\)，\(y = r\sin t\)，\(t\in[0,2\pi)\)。

先求\(x^{\prime}=-r\sin t\)，\(y^{\prime}=r\cos t\)。

根据参数方程下的弧微分公式\(ds=\sqrt{(x^{\prime})^{2}+(y^{\prime})^{2}}dt\)，可得\(ds=\sqrt{(-r\sin t)^{2}+(r\cos t)^{2}}dt = rdt\)。

例2：求抛物线\(y = x^{2}\)的弧微分

已知\(y = x^{2}\)，对其求导得\(y^{\prime}=2x\)。

根据弧微分公式\(ds=\sqrt{1 + y^{\prime 2}}dx\)，将\(y^{\prime}=2x\)代入可得：

\(ds=\sqrt{1+(2x)^{2}}dx=\sqrt{1 + 4x^{2}}dx\)。

例3：求曲线\(y=\sin x\)的弧微分

对\(y=\sin x\)求导得\(y^{\prime}=\cos x\)。

由弧微分公式\(ds=\sqrt{1 + y^{\prime 2}}dx\)，把\(y^{\prime}=\cos x\)代入：

\(ds=\sqrt{1+\cos^{2}x}dx\)。

3. 弧微分的几何意义

弧微分\(ds\)在几何上可以看作是当自变量\(x\)有微小增量\(\Delta x\)时，曲线\(y = f(x)\)上对应的弧长\(\Delta s\)的线性近似。它表示曲线在某一点处弧长元素的长度，并且\(ds\)与\(dx\)和\(dy\)构成直角三角形关系，其中\(ds\)为斜边，\(dx\)和\(dy\)为直角边，满足\(ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}\)（由\(ds=\sqrt{1 + y^{\prime 2}}dx\)两边平方可得\(ds^{2}=(1 + y^{\prime 2})dx^{2}=dx^{2}+(y^{\prime}dx)^{2}=dx^{2}+dy^{2}\)）。

弧微分在曲线积分等诸多数学领域有广泛的应用，比如计算曲线的长度、第一型曲线积分等。

4. 曲率的定义

曲率是用来描述曲线弯曲程度的量。

设曲线\(y = f(x)\)在点\((x,y)\)处的切线的倾斜角为\(\alpha\)，弧长为\(s\)，当点沿曲线移动时，\(\alpha\)的增量\(\Delta\alpha\)与弧长\(\Delta s\)之比的绝对值\(\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|\)，当\(\Delta s\to0\)时的极限\(k=\lim\limits_{\Delta s\to0}\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|\)就定义为曲线\(y = f(x)\)在点\((x,y)\)处的曲率。

5. 曲率的计算公式

对于函数\(y = f(x)\)，其曲率公式为\(k=\frac{\left|y^{\prime\prime}\right|}{(1 + y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}\)

推导过程如下：

设曲线\(y = f(x)\)上两点\(M(x,y)\)和\(N(x+\Delta x,y+\Delta y)\)，曲线在点\(M\)处切线的倾斜角为\(\alpha\)，在点\(N\)处切线的倾斜角为\(\alpha+\Delta\alpha\)，弧长\(\Delta s\)近似等于弦长\(\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\)。

根据导数的几何意义\(y^{\prime}=\tan\alpha\)，那么\(\alpha = \arctan y^{\prime}\)，对\(\alpha\)求关于\(x\)的导数得\(\frac{d\alpha}{dx}=\frac{y^{\prime\prime}}{1 + y^{\prime 2}}\)。

又因为弧微分\(ds=\sqrt{1 + y^{\prime 2}}dx\)，所以\(\frac{d\alpha}{ds}=\frac{\frac{d\alpha}{dx}}{\frac{ds}{dx}}=\frac{y^{\prime\prime}}{(1 + y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}\)，取绝对值得到曲率公式\(k=\frac{\left|y^{\prime\prime}\right|}{(1 + y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}\)。

例1：计算抛物线\(y = x^{2}\)在点\((1,1)\)处的曲率

首先，我们对\(y = x^{2}\)求一阶导数，根据求导公式\((x^{n})^\prime=nx^{n - 1}\)，可得\(y^\prime = 2x\)。

再求二阶导数，\(y^{\prime\prime}=2\)。

把\(x = 1\)代入\(y^\prime\)和\(y^{\prime\prime}\)中，得到\(y^\prime\big|_{x = 1}=2\)，\(y^{\prime\prime}\big|_{x = 1}=2\)。

根据曲率公式\(k=\frac{\vert y^{\prime\prime}\vert}{(1 + y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}\)，将上述值代入可得：

\(k=\frac{\vert2\vert}{(1 + 2^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{(1 + 4)^{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{5^{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{5\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{25}\)。

例2：计算圆\(x^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)\)的曲率

对圆的方程\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)使用隐函数求导。

对\(x\)求导得\(2x + 2y\cdot y^\prime = 0\)，解得\(y^\prime=-\frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)）。

再对\(y^\prime\)求导，根据除法求导公式\((\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}\)，这里\(u=-x\)，\(v = y\)，\(u^\prime=-1\)，\(v^\prime = y^\prime\)，可得\(y^{\prime\prime}=-\frac{y - xy^\prime}{y^{2}}\)。

把\(y^\prime=-\frac{x}{y}\)代入\(y^{\prime\prime}\)的表达式中，化简得\(y^{\prime\prime}=-\frac{r^{2}}{y^{3}}\)（利用\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)进行化简）。

由曲率公式\(k=\frac{\vert y^{\prime\prime}\vert}{(1 + y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}\)，将\(y^\prime=-\frac{x}{y}\)和\(y^{\prime\prime}=-\frac{r^{2}}{y^{3}}\)代入。

因为\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)，所以\(1 + y^{\prime 2}=1+\frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{y^{2}}=\frac{r^{2}}{y^{2}}\)。

则\(k=\frac{\vert-\frac{r^{2}}{y^{3}}\vert}{(\frac{r^{2}}{y^{2}})^{\frac{3}{2}}}=\frac{\frac{r^{2}}{\vert y^{3}\vert}}{\frac{r^{3}}{\vert y^{3}\vert}}=\frac{1}{r}\)。

这表明圆上任意一点的曲率是常数，且等于其半径的倒数，这也符合圆的几何性质，即圆的弯曲程度是均匀的。

例3：求曲线\(y = e^{x}\)在点\((0,1)\)处的曲率

对\(y = e^{x}\)求导，\(y^\prime = e^{x}\)，再求二阶导数\(y^{\prime\prime}=e^{x}\)。

把\(x = 0\)代入\(y^\prime\)和\(y^{\prime\prime}\)中，得到\(y^\prime\big|_{x = 0}=1\)，\(y^{\prime\prime}\big|_{x = 0}=1\)。

根据曲率公式\(k=\frac{\vert y^{\prime\prime}\vert}{(1 + y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}\)，将上述值代入可得：

\(k=\frac{\vert1\vert}{(1 + 1^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{(1 + 1)^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)。

6. 曲率圆与曲率半径

曲率圆：设曲线\(y = f(x)\)在点\(M(x_{0},y_{0})\)处的曲率为\(k(k\neq0)\)，在点\(M\)处的法线上，在凹的一侧取一点\(C\)，使\(\vert MC\vert=\frac{1}{k}\)，以\(C\)为圆心，\(\frac{1}{k}\)为半径作圆，这个圆称为曲线在点\(M\)处的曲率圆。

曲率半径：曲率圆的半径\(\rho=\frac{1}{k}\)，即\(\rho=\frac{(1 + y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}{\left|y^{\prime\prime}\right|}\)。它与曲率互为倒数关系，曲率半径越大，曲线在该点处的弯曲程度越小；曲率半径越小，曲线在该点处的弯曲程度越大。

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