1. 三阶行列式的定义

对于三阶方阵\(A = \begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}\)，它所对应的三阶行列式定义为：

\[\begin{align*}\vert A\vert&=\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}\\&=a_{1}\begin{vmatrix}b_{2}&c_{2}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}-b_{1}\begin{vmatrix}a_{2}&c_{2}\\a_{3}&c_{3}\end{vmatrix}+c_{1}\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}\\&=a_{1}(b_{2}c_{3}-b_{3}c_{2}) - b_{1}(a_{2}c_{3}-a_{3}c_{2})+c_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\end{align*}\]

例如，对于矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\)，则\(\vert A\vert = 1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}\)

\[\begin{align*}&=1\times(5\times9 - 6\times8)-2\times(4\times9 - 6\times7)+3\times(4\times8 - 5\times7)\\&=1\times(-3)-2\times(-6)+3\times(-3)\\&=-3 + 12-9\\&=0\end{align*}\]

2. 三阶行列式的几何意义

三阶行列式的绝对值可以表示以三个向量为棱边的平行六面体的体积。设三个向量\(\vec{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})\)，\(\vec{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})\)，\(\vec{c}=(c_{1},c_{2},c_{3})\)，以这三个向量为棱边的平行六面体的体积\(V = \vert\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}\vert\)。当行列式的值为正时，这三个向量构成右手系；当行列式的值为负时，这三个向量构成左手系。

3. 三阶行列式在求解线性方程组中的应用（克莱姆法则）

对于三元线性方程组\(\begin{cases}a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_{1}\\a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_{2}\\a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_{3}\end{cases}\)，其系数矩阵\(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\)。

设\(\Delta=\vert A\vert\)，\(\Delta_{x}=\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)，\(\Delta_{y}=\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\end{vmatrix}\)，\(\Delta_{z}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\end{vmatrix}\)。

当\(\Delta\neq0\)时，方程组有唯一解，且\(x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta}\)，\(y = \frac{\Delta_{y}}{\Delta}\)，\(z=\frac{\Delta_{z}}{\Delta}\)。

4. 三阶行列式的性质及推导

性质一：转置不变性

若\(A=\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}\)，\(A^{T}=\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{pmatrix}\)，则\(\vert A\vert=\vert A^{T}\vert\)。

推导：根据三阶行列式的展开式，分别计算\(\vert A\vert\)和\(\vert A^{T}\vert\)，会发现它们的展开式是相同的。

性质二：换行（列）变号

设\(A=\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}\)，若交换\(A\)的两行（列）得到\(B\)，则\(\vert B\vert=-\vert A\vert\)。

推导：通过行列式的展开式进行计算，交换两行（列）后，展开式中各项的符号会发生改变，从而导致行列式的值变号。

性质三：数乘性质

若\(k\)是一个数，\(A=\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}\)，则\(\vert kA\vert=k^{3}\vert A\vert\)。

推导：因为\(kA=\begin{pmatrix}ka_{1}&kb_{1}&kc_{1}\\ka_{2}&kb_{2}&kc_{2}\\ka_{3}&kb_{3}&kc_{3}\end{pmatrix}\)，根据行列式的展开式计算\(\vert kA\vert\)，会得到\(k^{3}\vert A\vert\)。

性质四：加法性质（按行/列拆开）

设\(A=\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}a_{1}'&b_{1}'&c_{1}'\\a_{2}'&b_{2}'&c_{2}'\\a_{3}'&b_{3}'&c_{3}'\end{pmatrix}\)，一般情况下\(\vert A + B\vert\neq\vert A\vert+\vert B\vert\)。但如果\(A\)和\(B\)只有一行（列）不同，那么可以按该行（列）拆开计算行列式。

性质五：行列式某一行（列）的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变

设\(A=\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}\)，将第一行乘以\(k\)加到第二行得到\(B=\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}+ka_{1}&b_{2}+kb_{1}&c_{2}+kc_{1}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}\)，则\(\vert B\vert=\vert A\vert\)。

推导：通过行列式的展开式计算\(\vert B\vert\)和\(\vert A\vert\)，可以证明它们的值相等。

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