1. 无穷小的定义

若函数\(f(x)\)当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的极限为零，则称函数\(f(x)\)为当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的无穷小。

例如，当\(x\to0\)时，函数\(y = x\)是无穷小，因为\(\lim_{x\to0}x = 0\)；当\(x\to\infty\)时，\(y=\frac{1}{x}\)是无穷小，因为\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)。

2. 无穷小的性质

性质1：有限个无穷小的和还是无穷小

设\(\alpha(x)\)和\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)时的无穷小，即\(\lim_{x\to x_{0}}\alpha(x)=0\)，\(\lim_{x\to x_{0}}\beta(x)=0\)。

令\(\gamma(x)=\alpha(x)+\beta(x)\)，对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，因为\(\lim_{x\to x_{0}}\alpha(x)=0\)，所以存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)；同理，因为\(\lim_{x\to x_{0}}\beta(x)=0\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\beta(x)\vert < \frac{\varepsilon}{2}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert\gamma(x)\vert=\vert\alpha(x)+\beta(x)\vert\leqslant\vert\alpha(x)\vert+\vert\beta(x)\vert < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to x_{0}}\gamma(x)=0\)，即\(\alpha(x)+\beta(x)\)是无穷小。例如，当\(x\to0\)时，\(x\)和\(x^{2}\)都是无穷小，\(x + x^{2}\)也是无穷小。

性质2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

设函数\(u(x)\)在\(x\to x_{0}\)的某邻域内有界，即存在\(M>0\)和\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert u(x)\vert\leqslant M\)；设\(\alpha(x)\)是当\(x\to x_{0}\)时的无穷小，即\(\lim_{x\to x_{0}}\alpha(x)=0\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，因为\(\lim_{x\to x_{0}}\alpha(x)=0\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \frac{\varepsilon}{M}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert u(x)\alpha(x)\vert=\vert u(x)\vert\vert\alpha(x)\vert\leqslant M\cdot\frac{\varepsilon}{M}=\varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to x_{0}}u(x)\alpha(x)=0\)。例如，当\(x\to0\)时，\(\sin x\)是有界函数（\(\vert\sin x\vert\leqslant1\)），\(x\)是无穷小，所以\(x\sin x\)是无穷小。

性质3：有限个无穷小的乘积是无穷小

设\(\alpha(x)\)、\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)时的无穷小，令\(\gamma(x)=\alpha(x)\beta(x)\)。

对于任意给定的\(\varepsilon>0\)，因为\(\lim_{x\to x_{0}}\alpha(x)=0\)，存在\(\delta_{1}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{1}\)时，\(\vert\alpha(x)\vert < \sqrt{\varepsilon}\)；同理，因为\(\lim_{x\to x_{0}}\beta(x)=0\)，存在\(\delta_{2}>0\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta_{2}\)时，\(\vert\beta(x)\vert < \sqrt{\varepsilon}\)。

取\(\delta=\min\{\delta_{1},\delta_{2}\}\)，当\(0 < \vert x - x_{0}\vert < \delta\)时，\(\vert\gamma(x)\vert=\vert\alpha(x)\beta(x)\vert=\vert\alpha(x)\vert\vert\beta(x)\vert < \sqrt{\varepsilon}\cdot\sqrt{\varepsilon}=\varepsilon\)，所以\(\lim_{x\to x_{0}}\gamma(x)=0\)。例如，当\(x\to0\)时，\(x\)和\(x^{2}\)是无穷小，\(x\cdot x^{2}=x^{3}\)也是无穷小。

3. 无穷小的比较

高阶无穷小：设\(\alpha(x)\)和\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的无穷小，如果\(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0\)，则称\(\alpha(x)\)是\(\beta(x)\)当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的高阶无穷小，记作\(\alpha(x)=o(\beta(x))\)。例如，当\(x\to0\)时，\(x^{2}\)是\(x\)的高阶无穷小，因为\(\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{x}=0\)，可记作\(x^{2}=o(x)\)。

低阶无穷小：如果\(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty\)，则称\(\alpha(x)\)是\(\beta(x)\)当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的低阶无穷小。

同阶无穷小：如果\(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C\neq0\)，则称\(\alpha(x)\)与\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的同阶无穷小。特别地，当\(C = 1\)时，称\(\alpha(x)\)与\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的等价无穷小，记作\(\alpha(x)\sim\beta(x)\)。例如，当\(x\to0\)时，\(\sin x\)和\(x\)是等价无穷小，因为\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)，记作\(\sin x\sim x\)。

4. 等价无穷小

设\(\alpha(x)\)和\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的无穷小。如果\(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1\)，则称\(\alpha(x)\)与\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的等价无穷小，记作\(\alpha(x)\sim\beta(x)\)。例如，当\(x\to0\)时，\(\sin x\sim x\)，这是因为\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)。

常见的等价无穷小（当\(x\to0\)时）

\(\sin x\sim x\)

\(\tan x\sim x\)

\(\arcsin x\sim x\)

\(\arctan x\sim x\)

\(1 - \cos x\sim\frac{1}{2}x^{2}\)

\(e^{x}-1\sim x\)

\(\ln(1 + x)\sim x\)

\((1 + x)^{a}-1\sim ax\)（\(a\neq0\)）

等价无穷小替换定理

设\(\alpha(x)\sim\alpha_{1}(x)\)，\(\beta(x)\sim\beta_{1}(x)\)，且\(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha_{1}(x)}{\beta_{1}(x)}\)存在（或为无穷大），则\(\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\lim_{x\to x_{0}}\frac{\alpha_{1}(x)}{\beta_{1}(x)}\)。

例如，计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}\)。因为当\(x\to0\)时，\(\sin 2x\sim2x\)，所以\(\lim_{x\to0}\frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2x}{x}=2\)。

使用等价无穷小的注意事项

乘除运算中可直接替换：等价无穷小一般在乘除运算中可以放心使用。但在加减运算中要谨慎使用，因为直接替换可能会导致错误结果。例如，计算\(\lim_{x\to0}\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}\)，如果直接将\(\tan x\)和\(\sin x\)都替换为\(x\)，会得到\(\lim_{x\to0}\frac{x - x}{x^{3}}=0\)，这是错误的。

正确的做法（加减运算）：应该先将式子进行化简。对于\(\lim_{x\to0}\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}\)，将\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)代入式子得到\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^{3}\cos x}\)。因为当\(x\to0\)时，\(1 - \cos x\sim\frac{1}{2}x^{2}\)，\(\sin x\sim x\)，所以原式\(=\lim_{x\to0}\frac{x\cdot\frac{1}{2}x^{2}}{x^{3}\cos x}=\frac{1}{2}\)。

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