考研数学：重要极限：\(\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
例1：直接应用极限形式
计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)。
令\(t = 3x\)，当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。则原式可化为\(\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{\frac{t}{3}} = 3\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=3\times1 = 3\)。
例2：函数变形后应用
计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin^{2}x}{x^{2}}\)。
可将原式变形为\(\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\)，根据重要极限，结果为\(1^{2}=1\)。
例3：与其他函数组合应用
计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x(1 + x)}\)。
可将原式拆分为\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{1 + x}\)，根据重要极限和函数极限的四则运算法则，结果为\(1\times1 = 1\)。
例4：在分式分母中的应用
计算\(\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin2x}\)。
令\(t = 2x\)，当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。则原式变为\(\lim_{t\to0}\frac{\frac{t}{2}}{\sin t}=\frac{1}{2}\lim_{t\to0}\frac{t}{\sin t}=\frac{1}{2}\)。
例5：与根式结合应用
计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{x + 1}\sin x}{x}\)。
可将原式拆分为\(\lim_{x\to0}\sqrt{x + 1}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\)，根据函数极限的四则运算法则和重要极限，结果为\(1\times1 = 1\)。
例6：在三角函数复合函数中的应用
计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}\)。
令\(t=\sin x\)，当\(x\to0\)时，\(t\to0\)。则原式变为\(\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1\)。
例7：在复杂分式中的应用
计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x - x}{x^{3}}\)。
利用等价无穷小\(\sin x=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})\)（泰勒展开式），则原式\(=\lim_{x\to0}\frac{x-\frac{x^{3}}{6}-x}{x^{3}}=-\frac{1}{6}\)。这里先利用了更高级的知识来展示与重要极限的联系，也可以通过洛必达法则求解。
例8：在三角函数乘积中的应用
计算\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x\sin2x}{x^{2}}\)。
可变形为\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}\)，进一步处理\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cdot2\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}\)，结果为\(1\times2\times1 = 2\)。
例9：在含指数函数的式子中的应用
计算\(\lim_{x\to0}\frac{e^{x}\sin x}{x}\)。
拆分为\(\lim_{x\to0}e^{x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\)，根据指数函数极限和重要极限，结果为\(1\times1 = 1\)。
例10：在分式分子分母都含三角函数的式子中的应用
计算\(\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{\sin x}\)。
因为\(\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，原式可化为\(\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}\)，结果为\(1\times1\times1 = 1\)。
