1. 曲率圆的定义

设曲线\(y = f(x)\)在点\(M(x_{0},y_{0})\)处的曲率为\(k(k\neq0)\)。在点\(M\)处的法线上，在凹的一侧取一点\(C\)，使\(\vert MC\vert=\frac{1}{k}\)，以\(C\)为圆心，\(\frac{1}{k}\)为半径作圆，这个圆称为曲线\(y = f(x)\)在点\(M\)处的曲率圆。

2. 曲率半径的定义与计算

曲率半径是曲率圆的半径，用\(\rho\)表示，它与曲率\(k\)互为倒数关系，即\(\rho=\frac{1}{k}\)。

对于函数\(y = f(x)\)，根据曲率公式\(k=\frac{\vert y^{\prime\prime}\vert}{(1 + y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}\)，可得曲率半径公式\(\rho=\frac{(1 + y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}{\vert y^{\prime\prime}\vert}\)。

例题1：求曲线\(y = \ln x\)在点\((1,0)\)处的曲率圆方程

首先，求\(y = \ln x\)的一阶导数\(y^\prime=\frac{1}{x}\)，将\(x = 1\)代入得\(y^\prime\big|_{x = 1}=1\)。

再求二阶导数\(y^{\prime\prime}=-\frac{1}{x^{2}}\)，将\(x = 1\)代入得\(y^{\prime\prime}\big|_{x = 1}=-1\)。

根据曲率公式\(k = \frac{\vert y^{\prime\prime}\vert}{(1 + y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}\)，可得在点\((1,0)\)处的曲率\(k=\frac{\vert - 1\vert}{(1 + 1^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}\)。

那么曲率半径\(\rho=\frac{1}{k}=2\sqrt{2}\)。

曲线在点\((1,0)\)处的切线斜率为\(1\)，则法线斜率为\(-1\)，法线方程为\(y - 0=-1\times(x - 1)\)，即\(y=-x + 1\)。

设曲率圆的圆心坐标为\((a,b)\)，因为圆心在法线上，且距离点\((1,0)\)的距离为\(\rho = 2\sqrt{2}\)，根据点到直线距离公式\(d=\frac{\vert Ax_0 + By_0 + C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)（对于直线\(Ax+By + C = 0\)和点\((x_0,y_0)\)），这里直线为\(x + y - 1 = 0\)，可得\(\frac{\vert a + b - 1\vert}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=2\sqrt{2}\)。

又因为圆心在法线上，所以\(b=-a + 1\)，联立方程解得\(a = 3\)，\(b=-2\)。

所以曲率圆方程为\((x - 3)^{2}+(y + 2)^{2}=8\)。

例题2：已知曲线\(y = f(x)\)在点\((x,y)\)处的曲率半径为\(\rho=\frac{(1 + y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}{\vert y^{\prime\prime}\vert}\)，若\(y^{\prime\prime}=2\)，\(y^\prime = 1\)，求曲率半径\(\rho\)

直接将\(y^{\prime\prime}=2\)，\(y^\prime = 1\)代入曲率半径公式\(\rho=\frac{(1 + y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}{\vert y^{\prime\prime}\vert}\)。

可得\(\rho=\frac{(1 + 1^{2})^{\frac{3}{2}}}{\vert 2\vert}=\frac{(1 + 1)^{\frac{3}{2}}}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)。

例题3：一物体做曲线运动，其轨迹方程为\(y=\frac{1}{3}x^{3}-x\)，在某点处的切线斜率为\(2\)，求该点处轨迹的曲率半径

先对\(y=\frac{1}{3}x^{3}-x\)求导得\(y^\prime = x^{2}-1\)。

因为切线斜率为\(2\)，所以\(x^{2}-1 = 2\)，解得\(x=\pm\sqrt{3}\)。

再求二阶导数\(y^{\prime\prime}=2x\)。

当\(x=\sqrt{3}\)时，\(y^{\prime\prime}\big|_{x=\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\)，\(y^\prime\big|_{x=\sqrt{3}} = 2\)，根据曲率半径公式\(\rho=\frac{(1 + y^{\prime 2})^{\frac{3}{2}}}{\vert y^{\prime\prime}\vert}\)，可得\(\rho=\frac{(1 + 2^{2})^{\frac{3}{2}}}{\vert 2\sqrt{3}\vert}=\frac{5\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{15}}{6}\)。

当\(x = -\sqrt{3}\)时，\(y^{\prime\prime}\big|_{x = -\sqrt{3}}=-2\sqrt{3}\)，\(y^\prime\big|_{x = -\sqrt{3}} = 2\)，同理可得\(\rho=\frac{(1 + 2^{2})^{\frac{3}{2}}}{\vert - 2\sqrt{3}\vert}=\frac{5\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{15}}{6}\)。

3. 在几何和物理中的应用

几何应用：曲率圆与曲线在某一点处有相同的切线、曲率和凹向。这使得它在研究曲线的局部几何性质时非常有用。例如，在计算机图形学中，当需要绘制光滑曲线时，可以利用曲率圆来近似曲线在某一点附近的形状，从而实现曲线的平滑绘制。

物理应用：在物理学的运动学中，如果一个物体做曲线运动，其轨迹的曲率半径与物体所受的向心力有关。根据牛顿第二定律\(F = ma\)，在曲线运动中，向心加速度\(a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho}\)（其中\(v\)是物体的线速度），所以\(F_{n}=m\frac{v^{2}}{\rho}\)。这表明曲率半径在分析物体的曲线运动受力情况等方面有重要作用。在考研数学中，对于涉及曲线运动的物理应用题，可能会要求通过计算曲率半径来进一步分析物体的受力或运动状态。

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