考研数学：曲面方程与空间曲线方程的概念

曲面方程的概念

如果曲面\(S\)与三元方程\(F(x,y,z)=0\)有如下关系：

1. 曲面\(S\)上任意一点的坐标都满足方程\(F(x,y,z)=0\)；

2. 不在曲面\(S\)上的点的坐标都不满足方程\(F(x,y,z)=0\)。

那么方程\(F(x,y,z)=0\)就叫做曲面\(S\)的方程，而曲面\(S\)就叫做方程\(F(x,y,z)=0\)的图形.

曲面方程的例题

例1：球面方程：建立球心在点\(M_0(x_0,y_0,z_0)\)、半径为\(R\)的球面的方程。

设\(M(x,y,z)\)是球面上的任一点，那么\(\vert MM_0\vert = R\)，即\((x - x_0)^2+(y - y_0)^2+(z - z_0)^2 = R^2\)。这就是球面上的点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程，所以\((x - x_0)^2+(y - y_0)^2+(z - z_0)^2 = R^2\)就是球心在点\(M_0(x_0,y_0,z_0)\)、半径为\(R\)的球面的方程。特殊地，球心在原点\(O(0,0,0)\)、半径为\(R\)的球面的方程为\(x^2+y^2+z^2 = R^2\).

例2：平面方程：设有点\(A(1,2,3)\)和\(B(2,1,4)\)，求线段\(AB\)的垂直平分面的方程。

由题意知道所求的平面就是与\(A\)和\(B\)等距离的点的几何轨迹。设\(M(x,y,z)\)为所求平面上的任一点，则有\(\vert AM\vert=\vert BM\vert\)，即\((x - 1)^2+(y - 2)^2+(z - 3)^2=(x - 2)^2+(y - 1)^2+(z - 4)^2\)。等式两边平方然后化简得\(2x - 6y + 2z - 7 = 0\)。这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程，而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程.

例3：圆柱面方程：方程\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\)在空间直角坐标系中表示怎样的曲面？

方程\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\)在\(xOy\)面上表示圆心在原点\(O\)、半径为\(R\)的圆。在空间直角坐标系中，这方程不含竖坐标\(z\)，即不论空间点的竖坐标\(z\)怎样，只要它的横坐标\(x\)和纵坐标\(y\)能满足这方程，那么这些点就在这曲面上。也就是说，过\(xOy\)面上的圆\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\)且平行于\(z\)轴的直线一定在\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\)表示的曲面上。所以这个曲面可以看成是由平行于\(z\)轴的直线\(l\)沿\(xOy\)面上的圆\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\)移动而形成的，这曲面叫做圆柱面，\(xOy\)面上的圆\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\)叫做它的准线，这平行于\(z\)轴的直线\(l\)叫做它的母线.

空间曲线方程的概念

空间曲线可以看成是两个曲面的交线，一般用方程组\(\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}\)来表示，该方程组叫做空间曲线的一般方程。同时，空间曲线也可以用参数方程\(\begin{cases}x = x(t)\\y = y(t)\\z = z(t)\end{cases}\)来表示，其中\(t\)为参数，对于\(t\)的每一个允许值，由参数方程所确定的点\((x,y,z)\)都在这条曲线上，并且这条曲线上的任一点都可以由\(t\)的某个值通过参数方程得到.

空间曲线方程的例题

例1：求空间曲线\(\begin{cases}x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\\x + y = 1\end{cases}\)在\(xOy\)平面上的投影曲线方程。

首先由\(x + y = 1\)可得\(y = 1 - x\)，将其代入\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\)中，得到\(x^{2}+(1 - x)^{2}+z^{2}=9\)，化简得\(2x^{2}-2x + z^{2}=8\)。然后令\(z = 0\)，可得投影曲线方程为\(\begin{cases}2x^{2}-2x = 8\\z = 0\end{cases}\)，进一步化简为\(\begin{cases}x^{2}-x - 4 = 0\\z = 0\end{cases}\) 。

例2：已知空间曲线的参数方程为\(\begin{cases}x = 2\cos t\\y = 2\sin t\\z = 3t\end{cases}\)，求该曲线在点\((\sqrt{2},\sqrt{2},\frac{3\pi}{4})\)处的切线方程和法平面方程。

已知参数方程\(\begin{cases}x = 2\cos t\\y = 2\sin t\\z = 3t\end{cases}\)，对\(t\)求导得\(\begin{cases}x^\prime=-2\sin t\\y^\prime=2\cos t\\z^\prime=3\end{cases}\)。

因为点\((\sqrt{2},\sqrt{2},\frac{3\pi}{4})\)对应的参数\(t=\frac{\pi}{4}\)，所以在该点处的切向量为\(\vec{T}=(-2\sin\frac{\pi}{4},2\cos\frac{\pi}{4},3)=(-\sqrt{2},\sqrt{2},3)\)。

切线方程为\(\frac{x-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}=\frac{y-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{z-\frac{3\pi}{4}}{3}\)；

法平面方程为\(-\sqrt{2}(x-\sqrt{2})+\sqrt{2}(y-\sqrt{2})+3(z-\frac{3\pi}{4})=0\) 。