1. 高阶线性微分方程的基本形式

\(n\)阶线性齐次微分方程：其一般形式为\(y^{(n)} + p_{1}(x)y^{(n - 1)}+\cdots + p_{n - 1}(x)y'+p_{n}(x)y = 0\)，其中\(p_{1}(x),p_{2}(x),\cdots,p_{n}(x)\)是\(x\)的函数。例如，二阶线性齐次微分方程\(y'' + p(x)y'+q(x)y = 0\)。

\(n\)阶线性非齐次微分方程：一般形式为\(y^{(n)} + p_{1}(x)y^{(n - 1)}+\cdots + p_{n - 1}(x)y'+p_{n}(x)y = f(x)\)，其中\(f(x)\)是\(x\)的函数，且\(f(x)\neq0\)。例如，二阶线性非齐次微分方程\(y'' + p(x)y'+q(x)y = f(x)\)。

2. 解的结构

齐次方程解的结构

设\(y_{1}(x),y_{2}(x),\cdots,y_{n}(x)\)是\(n\)阶线性齐次微分方程\(y^{(n)} + p_{1}(x)y^{(n - 1)}+\cdots + p_{n - 1}(x)y'+p_{n}(x)y = 0\)的\(n\)个线性无关的解（即\(W[y_{1},y_{2},\cdots,y_{n}](x)\neq0\)，\(W\)为朗斯基行列式），那么该齐次方程的通解为\(y = C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+\cdots + C_{n}y_{n}(x)\)，其中\(C_{1},C_{2},\cdots,C_{n}\)是任意常数。例如，对于二阶线性齐次微分方程\(y'' + y = 0\)，\(y_{1}=\cos x\)和\(y_{2}=\sin x\)是两个线性无关的解，其通解为\(y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\)。

非齐次方程解的结构

设\(y^{*}(x)\)是\(n\)阶线性非齐次微分方程\(y^{(n)} + p_{1}(x)y^{(n - 1)}+\cdots + p_{n - 1}(x)y'+p_{n}(x)y = f(x)\)的一个特解，\(Y(x)\)是对应的齐次方程\(y^{(n)} + p_{1}(x)y^{(n - 1)}+\cdots + p_{n - 1}(x)y'+p_{n}(x)y = 0\)的通解，那么非齐次方程的通解为\(y = Y(x)+y^{*}(x)\)。例如，对于方程\(y'' + y = \sin x\)，齐次方程\(y'' + y = 0\)的通解为\(Y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\)，一个特解\(y^{*}=-\frac{1}{2}x\cos x\)，则非齐次方程的通解为\(y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x-\frac{1}{2}x\cos x\)。

3. 常系数高阶线性齐次微分方程的求解方法

对于\(n\)阶常系数线性齐次微分方程\(y^{(n)} + a_{1}y^{(n - 1)}+\cdots + a_{n - 1}y'+a_{n}y = 0\)（其中\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)为常数），设\(y = e^{rx}\)，代入方程可得特征方程\(r^{n}+a_{1}r^{n - 1}+\cdots + a_{n - 1}r + a_{n}=0\)。

若特征方程有\(n\)个互不相同的实根\(r_{1},r_{2},\cdots,r_{n}\)，则通解为\(y = C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}+\cdots + C_{n}e^{r_{n}x}\)。

若特征方程有重根，例如\(r\)是\(k\)重根，则对应的通解部分为\((C_{1}+C_{2}x+\cdots + C_{k}x^{k - 1})e^{rx}\)。

若特征方程有一对共轭复根\(\alpha\pm i\beta\)，则对应的通解部分为\(e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x + C_{2}\sin\beta x)\)。

4. 常系数高阶线性非齐次微分方程的求解方法（特解的求法）

类型一：\(f(x)=P_{m}(x)e^{\lambda x}\)，其中\(P_{m}(x)\)是\(m\)次多项式

设特解为\(y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x}\)，其中\(Q_{m}(x)\)是与\(P_{m}(x)\)同次的待定多项式。当\(\lambda\)不是特征方程的根时，\(k = 0\)；当\(\lambda\)是单根时，\(k = 1\)；当\(\lambda\)是重根时，\(k\)等于重数。

类型二：\(f(x)=e^{\alpha x}[P_{l}(x)\cos\beta x + Q_{m}(x)\sin\beta x]\)，其中\(P_{l}(x)\)和\(Q_{m}(x)\)分别是\(l\)次和\(m\)次多项式

设特解为\(y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}[R_{n}(x)\cos\beta x + S_{n}(x)\sin\beta x]\)，其中\(n=\max\{l,m\}\)，\(R_{n}(x)\)和\(S_{n}(x)\)是\(n\)次待定多项式。当\(\alpha\pm i\beta\)不是特征方程的根时，\(k = 0\)；当\(\alpha\pm i\beta\)是单根时，\(k = 1\)。

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