考研数学：对数求导法
1. 对数求导法的适用情况
对数求导法主要适用于以下两种情况：
多个函数相乘除的形式：当函数\(y = f(x)\)是由多个因子相乘、相除或者根式组成的复杂表达式时，例如\(y=\frac{(x + 1)^{2}\sqrt{x - 1}}{(x - 2)^{3}}\)，直接求导会比较复杂，使用对数求导法可以简化求导过程。
幂指函数形式：对于幂指函数\(y = u(x)^{v(x)}\)（其中\(u(x)>0\)，\(u(x)\)和\(v(x)\)都是关于\(x\)的函数），如\(y = x^{\sin x}\)，运用对数求导法可以方便地求出导数。
2. 对数求导法的步骤及原理
步骤一：对函数两边取自然对数
对于\(y = f(x)\)，得到\(\ln y=\ln f(x)\)。如果\(y\)是多个函数的乘除组合，根据对数的运算法则将其展开。例如，对于\(y=\frac{(x + 1)^{2}\sqrt{x - 1}}{(x - 2)^{3}}\)，两边取对数后得到\(\ln y = 2\ln(x + 1)+\frac{1}{2}\ln(x - 1)-3\ln(x - 2)\)。
对于幂指函数\(y = u(x)^{v(x)}\)，两边取对数后得到\(\ln y = v(x)\ln u(x)\)。例如，对于\(y = x^{\sin x}\)，两边取对数后为\(\ln y=\sin x\ln x\)。
步骤二：对等式两边关于\(x\)求导
对于\(\ln y = 2\ln(x + 1)+\frac{1}{2}\ln(x - 1)-3\ln(x - 2)\)，根据复合函数求导法则，\(\frac{1}{y}y^\prime=\frac{2}{x + 1}+\frac{1}{2(x - 1)}-\frac{3}{x - 2}\)。
对于\(\ln y=\sin x\ln x\)，同样根据复合函数求导法则和乘积法则，\(\frac{1}{y}y^\prime=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\)。
步骤三：求解\(y^\prime\)
将\(y\)乘到等式右边，得到\(y^\prime\)。对于\(y=\frac{(x + 1)^{2}\sqrt{x - 1}}{(x - 2)^{3}}\)，\(y^\prime=y\left(\frac{2}{x + 1}+\frac{1}{2(x - 1)}-\frac{3}{x - 2}\right)=\frac{(x + 1)^{2}\sqrt{x - 1}}{(x - 2)^{3}}\left(\frac{2}{x + 1}+\frac{1}{2(x - 1)}-\frac{3}{x - 2}\right)\)。
对于\(y = x^{\sin x}\)，\(y^\prime=y\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)\)。
3. 对数求导法的优势和注意事项
优势：
可以将复杂的函数求导转化为相对简单的对数函数和基本函数的求导组合，通过对数的运算法则将乘除运算转化为加减运算，大大简化了求导过程。
注意事项：
当对函数两边取对数时，需要注意函数的定义域，要保证取对数后的式子有意义。例如，对于函数\(y=\frac{(x + 1)^{2}\sqrt{x - 1}}{(x - 2)^{3}}\)，\(x\)的定义域是\(x>1\)且\(x\neq2\)，在求导过程中以及最终结果的应用中都要考虑这个定义域。同时，对于幂指函数\(y = u(x)^{v(x)}\)，要保证\(u(x)>0\)，如果不满足这个条件，需要进行适当的讨论或者变形。
