1. 相关变化率的概念

设\(x = x(t)\)和\(y = y(t)\)都是可导函数，并且变量\(x\)与\(y\)之间存在某种关系\(F(x,y)=0\)，那么\(\frac{dx}{dt}\)与\(\frac{dy}{dt}\)就称为相关变化率。也就是说，当一个变量随时间\(t\)变化时，另一个与之相关的变量也会随着时间\(t\)发生变化，我们关注的是这两个变化率之间的关系。

2. 解决相关变化率问题的一般步骤

步骤一：建立变量之间的关系方程

根据问题的几何、物理等实际背景，找出变量\(x\)和\(y\)之间的关系式\(F(x,y) = 0\)。例如，对于一个球形气球，其体积\(V\)和半径\(r\)之间的关系为\(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\)。

步骤二：对关系式两边同时关于时间\(t\)求导

利用复合函数求导法则进行求导。对于\(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\)，对两边关于\(t\)求导得到\(\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}\)。

步骤三：代入已知条件求解未知的变化率

已知某些变量在特定时刻的值以及其中一个变化率的值，代入求导后的关系式中求解另一个变化率。例如，已知气球半径\(r = 2\)米时，半径的膨胀速度\(\frac{dr}{dt}=0.1\)米/秒，将\(r = 2\)和\(\frac{dr}{dt}=0.1\)代入\(\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}\)，可得\(\frac{dV}{dt}=4\pi\times2^{2}\times0.1 = 1.6\pi\)立方米/秒，即此时气球体积的增加速度是\(1.6\pi\)立方米/秒。

3. 相关变化率的应用场景

几何问题

例题1：已知动点\(P\)在曲线\(y = x^{2}\)上运动，记坐标原点与点\(P\)间的距离为\(s\)。若点\(P\)的横坐标对时间的变化率为常数\(2\)，求当点\(P\)运动到点\((1,1)\)时，\(s\)对时间的变化率。

解：设点\(P\)的坐标为\((x,y)\)，则\(y = x^{2}\)，\(s=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+x^{4}}\)。对\(s\)关于\(t\)求导，根据复合函数求导法则可得：\(\frac{ds}{dt}=\frac{2x + 4x^{3}}{2\sqrt{x^{2}+x^{4}}}\cdot\frac{dx}{dt}\)。已知\(\frac{dx}{dt}=2\)，当\(x = 1\)时，代入可得\(\frac{ds}{dt}=\frac{2\times1+4\times1^{3}}{2\sqrt{1^{2}+1^{4}}}\times2=\frac{6}{\sqrt{2}}\times2 = 6\sqrt{2}\) 。

例题2：一个圆锥形的罐子，底部半径是\(4\)英尺，高为\(10\)英尺，以每分钟\(2\)立方英尺的速度向此圆锥形的罐子里注水。求当水深\(5\)英尺的时候，水面上升的速度是多少？

解：设注入水的体积为\(V\)，水面高度为\(h\)，水面半径为\(r\)。由相似三角形可得\(\frac{r}{h}=\frac{4}{10}\)，即\(r=\frac{2}{5}h\)。圆锥体积公式\(V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi(\frac{2}{5}h)^{2}h=\frac{4}{75}\pi h^{3}\)。对\(V\)关于\(t\)求导得\(\frac{dV}{dt}=\frac{4}{25}\pi h^{2}\frac{dh}{dt}\)。已知\(\frac{dV}{dt}=2\)，当\(h = 5\)时，代入可得\(2=\frac{4}{25}\pi\times5^{2}\times\frac{dh}{dt}\)，解得\(\frac{dh}{dt}=\frac{1}{2\pi}\)英尺/分钟。

例题3：有一个球形气球，半径\(r\)以\(2\)厘米/秒的速度增长，求当半径\(r = 5\)厘米时，气球体积\(V\)和表面积\(S\)的增长速度。

解：已知球的体积公式\(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\)，对其求导得\(\frac{dV}{dt}=4\pi r^{2}\frac{dr}{dt}\)。当\(r = 5\)，\(\frac{dr}{dt}=2\)时，\(\frac{dV}{dt}=4\pi\times5^{2}\times2 = 200\pi\)立方厘米/秒。球的表面积公式\(S = 4\pi r^{2}\)，求导得\(\frac{dS}{dt}=8\pi r\frac{dr}{dt}\)，当\(r = 5\)，\(\frac{dr}{dt}=2\)时，\(\frac{dS}{dt}=8\pi\times5\times2 = 80\pi\)平方厘米/秒 。

物理问题

例题4：一个物体在斜面上运动，设物体离斜面底端的距离\(x\)（沿斜面方向）与时间\(t\)的关系为\(x = 3t^{2}+2t\)，斜面的高度\(h\)与\(x\)的关系为\(h=\frac{1}{5}x\)。求物体高度\(h\)关于时间\(t\)的变化率。

解：由\(h=\frac{1}{5}x\)和\(x = 3t^{2}+2t\)可得\(h=\frac{1}{5}(3t^{2}+2t)\)，对\(h\)关于\(t\)求导得\(\frac{dh}{dt}=\frac{1}{5}(6t + 2)=\frac{6}{5}t+\frac{2}{5}\)。

例题5： 一个质点沿曲线\(y=\frac{1}{3}x^{3}\)运动，已知其横坐标\(x\)随时间\(t\)的变化率为\(\frac{dx}{dt}=2\)，求当\(x = 3\)时，质点纵坐标\(y\)的变化率。

解：由\(y=\frac{1}{3}x^{3}\)对\(t\)求导，根据复合函数求导法则可得：\(\frac{dy}{dt}=x^{2}\frac{dx}{dt}\)。当\(x = 3\)，\(\frac{dx}{dt}=2\)时，\(\frac{dy}{dt}=3^{2}\times2 = 18\)。

例题6：在一个电路中，电阻\(R\)和电流\(I\)满足关系\(R=\frac{10}{I}\)，已知电流\(I\)以\(0.1\)安/秒的速度减小，求当\(I = 2\)安时，电阻\(R\)的变化率。

解：对\(R=\frac{10}{I}\)关于\(t\)求导，根据复合函数求导法则可得：\(\frac{dR}{dt}=-\frac{10}{I^{2}}\frac{dI}{dt}\)。当\(I = 2\)，\(\frac{dI}{dt}=-0.1\)时，\(\frac{dR}{dt}=-\frac{10}{2^{2}}\times(-0.1)=\frac{10}{4}\times0.1 = 0.25\)欧姆/秒 。

经济问题

例题7：某产品的成本\(C\)与产量\(x\)之间的函数关系为\(C = x^{2}+10x + 5\)，产量\(x\)关于时间\(t\)的变化率为\(\frac{dx}{dt}=3\)，求当\(x = 5\)时，成本\(C\)关于时间\(t\)的变化率。

解：对\(C = x^{2}+10x + 5\)关于\(t\)求导，根据复合函数求导法则可得：\(\frac{dC}{dt}=(2x + 10)\frac{dx}{dt}\)。当\(x = 5\)，\(\frac{dx}{dt}=3\)时，\(\frac{dC}{dt}=(2\times5 + 10)\times3 = 30\times3 = 90\)。

例题8：某商品的销售量\(Q\)与价格\(p\)之间的关系为\(Q=\frac{100}{p}\)，价格\(p\)以\(0.5\)元/周的速度上涨，求当\(p = 10\)元时，销售量\(Q\)的变化率。

解：对\(Q=\frac{100}{p}\)关于\(t\)求导，根据复合函数求导法则可得：\(\frac{dQ}{dt}=-\frac{100}{p^{2}}\frac{dp}{dt}\)。当\(p = 10\)，\(\frac{dp}{dt}=0.5\)时，\(\frac{dQ}{dt}=-\frac{100}{10^{2}}\times0.5=-0.5\) 。

其他问题

例题9：落在平静水面上的石头，产生同心波纹。若最外一圈波半径\(r\)的增大速率总是\(6\)米/秒，问在\(2\)秒末扰动水面面积\(S\)增大的速率为多少 ？

解：圆的面积公式\(S=\pi r^{2}\)，对其关于\(t\)求导得\(\frac{dS}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}\)。当\(t = 2\)时，\(r = 6\times2 = 12\)米，\(\frac{dr}{dt}=6\)米/秒，代入可得\(\frac{dS}{dt}=2\pi\times12\times6 = 144\pi\)平方米/秒 。

例题10：一个长方形的长\(l\)以\(2\)厘米/秒的速度增加，宽\(w\)以\(3\)厘米/秒的速度增加，当\(l = 5\)厘米，\(w = 3\)厘米时，求长方形面积\(A\)的变化率。

解：长方形面积公式\(A = lw\)，对其关于\(t\)求导得\(\frac{dA}{dt}=l\frac{dw}{dt}+w\frac{dl}{dt}\)。当\(l = 5\)，\(w = 3\)，\(\frac{dl}{dt}=2\)，\(\frac{dw}{dt}=3\)时，\(\frac{dA}{dt}=5\times3+3\times2 = 15 + 6 = 21\)平方厘米/秒 。

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