1. 混合积的定义

设\(\vec{a}=(a_{x},a_{y},a_{z})\)、\(\vec{b}=(b_{x},b_{y},b_{z})\)、\(\vec{c}=(c_{x},c_{y},c_{z})\)是三个向量，则\((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\)称为这三个向量的混合积，记作\([\vec{a}\vec{b}\vec{c}]\)。

从几何意义上来说，向量的混合积的绝对值\(\vert[\vec{a}\vec{b}\vec{c}]\vert\)等于以\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)为棱的平行六面体的体积。

2. 混合积的计算方法

先计算向量积\(\vec{a}\times\vec{b}\)，设\(\vec{a}\times\vec{b}=(d_{x},d_{y},d_{z})\)，其中\(d_{x}=a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y}\)，\(d_{y}=a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z}\)，\(d_{z}=a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x}\)。

然后再计算数量积\((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}\)，即\([\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})c_{x}+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})c_{y}+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})c_{z}\)。

例如，设\(\vec{a}=(1,0,0)\)，\(\vec{b}=(0,1,0)\)，\(\vec{c}=(0,0,1)\)。

首先计算\(\vec{a}\times\vec{b}=(0\times0 - 0\times1,0\times0 - 1\times0,1\times1 - 0\times0)=(0,0,1)\)。

然后计算\((\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=(0,0,1)\cdot(0,0,1)=0\times0 + 0\times0+1\times1 = 1\)。

3. 混合积的性质

轮换对称性：\([\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=[\vec{b}\vec{c}\vec{a}]=[\vec{c}\vec{a}\vec{b}]\)。

这是因为从几何角度看，以\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)为棱的平行六面体和以\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)、\(\vec{a}\)为棱的平行六面体以及以\(\vec{c}\)、\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)为棱的平行六面体的体积是相同的。

交换其中两个向量，混合积变号：\([\vec{a}\vec{b}\vec{c}]= - [\vec{b}\vec{a}\vec{c}]= - [\vec{a}\vec{c}\vec{b}]= - [\vec{c}\vec{b}\vec{a}]\)。

这是由于向量积的反交换律导致的。当交换\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)时，\(\vec{a}\times\vec{b}\)变为\(-(\vec{b}\times\vec{a})\)，再与\(\vec{c}\)做数量积时，结果就会变号。

4. 混合积的应用

判断向量的共面性：三个向量\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)共面的充要条件是\([\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=0\)。

从几何意义理解，如果三个向量共面，那么以它们为棱的平行六面体的体积为\(0\)，即混合积为\(0\)。例如，若\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)是平行向量，那么\(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\)，所以\([\vec{a}\vec{b}\vec{c}]=(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{0}\cdot\vec{c}=0\)。

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