考研数学：函数的有界性

1. 函数有界性的定义

有上界：设函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上有定义，如果存在一个实数\(M\)，使得对于区间\(I\)上的任意\(x\)，都有\(f(x)\leq M\)，那么就称函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上有上界，\(M\)称为函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上的一个上界。例如，函数\(y = -x^{2}\)在\(( - \infty,+\infty)\)上有上界，因为对于任意\(x\in( - \infty,+\infty)\)，\(y = -x^{2}\leq0\)，这里\(0\)就是一个上界。

有下界：设函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上有定义，如果存在一个实数\(m\)，使得对于区间\(I\)上的任意\(x\)，都有\(f(x)\geq m\)，那么就称函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上有下界，\(m\)称为函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上的一个下界。例如，函数\(y = x^{2}\)在\(( - \infty,+\infty)\)上有下界，因为对于任意\(x\in( - \infty,+\infty)\)，\(y = x^{2}\geq0\)，这里\(0\)就是一个下界。

有界函数：设函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上有定义，如果存在正数\(K\)，使得对于区间\(I\)上的任意\(x\)，都有\(\vert f(x)\vert\leq K\)，那么就称函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上是有界的。例如，函数\(y=\sin x\)在\(( - \infty,+\infty)\)上是有界函数，因为对于任意\(x\in( - \infty,+\infty)\)，\(\vert\sin x\vert\leq1\)。

函数\(f(x)\)在集合\(D\)上有界的充要条件是它在\(D\)上既有上界又有下界。

充分性

若函数\(f(x)\)在集合\(D\)上既有上界\(M\)，又有下界\(m\)，即对于任意的\(x\in D\)，都有\(m\leq f(x)\leq M\)。

令\(K = \max\{|M|,|m|\}\)，则有\(\vert f(x)\vert\leq K\)，满足函数有界的定义，所以函数\(f(x)\)在集合\(D\)上有界。

必要性

若函数\(f(x)\)在集合\(D\)上有界，则存在正数\(M\)，使得对于任意的\(x\in D\)，都有\(\vert f(x)\vert\leq M\)。

由此可得\(-M\leq f(x)\leq M\)，这表明函数\(f(x)\)在集合\(D\)上既有上界\(M\)，又有下界\(-M\) 。

2. 函数有界性的判定方法

（1）利用函数的性质和公式：

对于一些基本函数，根据其性质可以直接判断有界性。例如，三角函数\(\sin x\)和\(\cos x\)的值域分别是\([ - 1,1]\)，所以它们在\(( - \infty,+\infty)\)上是有界函数。

对于多项式函数，可以通过分析其最高次项系数和次数来判断。例如，对于一次函数\(y = kx + b\)（\(k\neq0\)），当\(k>0\)时，函数在\(( - \infty,+\infty)\)上无界；当\(k = 0\)时，函数为常数函数，有界。对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)），当\(a>0\)时，函数在\(( - \infty,+\infty)\)上有下界，无界；当\(a < 0\)时，函数在\(( - \infty,+\infty)\)上有上界，无界。

（2）利用函数的单调性和极限：

如果函数在区间\(I\)上单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么函数在该区间上有界。例如，函数\(y=\frac{1}{x}\)在\((1,+\infty)\)上单调递减，且当\(x\in(1,+\infty)\)时，\(y\in(0,1)\)，所以函数在\((1,+\infty)\)上有界。

通过求函数在区间端点或无穷远处的极限来判断有界性。例如，函数\(y=\frac{x}{x^{2}+1}\)，当\(x\to\pm\infty\)时，\(\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x}{x^{2}+1}=0\)，再结合函数的连续性可以判断函数在\(( - \infty,+\infty)\)上是有界的。

3. 有界性与函数其他性质的关系

与连续性的关系：在闭区间上连续的函数一定是有界的（这是闭区间上连续函数的性质之一）。例如，函数\(y = x^{3}-x\)在\([ - 1,1]\)上连续，根据闭区间上连续函数的有界性定理，它在\([ - 1,1]\)上是有界的。

与可导性的关系：可导函数的有界性和其导数的有界性有一定联系。例如，若函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上可导，且其导数\(f^\prime(x)\)在区间\(I\)上有界，则函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上是有界的（通过拉格朗日中值定理可以证明）。

4. 函数有界性的应用

在极限计算中的应用：在求极限时，如果已知函数是有界的，再结合其他函数的极限性质可以求出一些复杂函数的极限。例如，\(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\sin x}{x}=0\)，因为\(\sin x\)是有界函数，\(\vert\sin x\vert\leq1\)，而\(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0\)，根据有界函数与无穷小的乘积是无穷小的性质，可得上述极限。

在函数列收敛性判断中的应用：判断函数列是否一致收敛时，函数的有界性是一个重要的考虑因素。例如，对于函数列\(\{f_{n}(x)\}\)，如果存在一个函数\(g(x)\)，使得\(\vert f_{n}(x)\vert\leq g(x)\)且\(g(x)\)在区间\(I\)上有界，那么在一定条件下可以判断函数列的收敛性。

5. 常见函数的有界性分析

三角函数

正弦函数：\(y = \sin x\)的值域是\([ - 1,1]\)，即对于任意的\(x\in(-\infty,+\infty)\)，都有\(\vert\sin x\vert\leq1\)，所以正弦函数在\((-\infty,+\infty)\)上是有界函数.

余弦函数：\(y = \cos x\)的值域也是\([ - 1,1]\)，对于任意的\(x\in(-\infty,+\infty)\)，都有\(\vert\cos x\vert\leq1\)，因此余弦函数在\((-\infty,+\infty)\)上是有界函数.

正切函数：\(y = \tan x\)的值域是\(R\)，它在其定义域内是无界的。例如，当\(x\)趋近于\(\frac{\pi}{2}+k\pi\)（\(k\in Z\)）时，\(\tan x\)趋近于正无穷或负无穷.

反三角函数

反正弦函数：\(y = \arcsin x\)的定义域是\([ - 1,1]\)，值域是\([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)，所以反正弦函数在其定义域\([ - 1,1]\)上是有界函数.

反余弦函数：\(y = \arccos x\)的定义域是\([ - 1,1]\)，值域是\([0,\pi]\)，因此反余弦函数在其定义域\([ - 1,1]\)上是有界函数.

反正切函数：\(y = \arctan x\)的值域是\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)，所以反正切函数在\((-\infty,+\infty)\)上是有界函数.

指数函数

指数函数\(y = a^{x}\)（\(a>0,a\neq1\)），当\(a>1\)时，函数在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增且值域为\((0,+\infty)\)；当\(0<a<1\)时，函数在\((-\infty,+\infty)\)上单调递减且值域为\((0,+\infty)\)。所以指数函数在其定义域\((-\infty,+\infty)\)上是无界函数，但当限制在某个闭区间时是有界的，例如\(y = 2^{x}\)在\([-1,1]\)上的值域是\([\frac{1}{2},2]\)，此时是有界的。

对数函数

对数函数\(y=\log_{a}x\)（\(a>0,a\neq1\)），其定义域为\((0,+\infty)\)。当\(a>1\)时，函数在\((0,+\infty)\)上单调递增；当\(0<a<1\)时，函数在\((0,+\infty)\)上单调递减，且值域均为\(R\)。所以对数函数在其定义域\((0,+\infty)\)上是无界函数，但在某个闭区间\([m,n]\)（\(m,n>0\)）上是有界的，例如\(y=\log_{2}x\)在\([1,2]\)上的值域是\([0,1]\)，此时是有界的。

幂函数

幂函数\(y = x^{n}\)（\(n\)为常数），当\(n>0\)时，函数在\([0,+\infty)\)上有下界\(0\)，但无上界；当\(n<0\)时，函数在\((0,+\infty)\)上有上界，但无下界；当\(n = 0\)时，函数为常数函数\(y = 1\)（\(x\neq0\)），是有界函数。

绝对值函数

绝对值函数\(y=\vert x\vert\)，其值域是\([0,+\infty)\)，在\((-\infty,+\infty)\)上有下界\(0\)，但无上界，所以是无界函数，但在某个闭区间\([m,n]\)上是有界的，例如在\([-1,1]\)上的值域是\([0,1]\)，此时是有界的。

符号函数

符号函数\(y=\text{sgn}(x)=\begin{cases}1,x>0\\0,x=0\\-1,x<0\end{cases}\)，其值域为\(\{-1,0,1\}\)，所以符号函数在\((-\infty,+\infty)\)上是有界函数。

取整函数

取整函数\(y=[x]\)表示不超过\(x\)的最大整数，其值域是整数集\(Z\)，在\((-\infty,+\infty)\)上是无界函数，但在某个闭区间\([m,n]\)上是有界的，例如在\([1,2]\)上的值域是\(\{1\}\)，此时是有界的。

双曲函数

双曲正弦函数：\(y = \sinh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)，因为当\(x\to+\infty\)时，\(e^{x}\to+\infty\)，\(e^{-x}\to0\)，所以\(\sinh x\to+\infty\)；当\(x\to-\infty\)时，\(e^{x}\to0\)，\(e^{-x}\to+\infty\)，所以\(\sinh x\to-\infty\)，因此双曲正弦函数在\((-\infty,+\infty)\)上是无界函数。

双曲余弦函数：\(y = \cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)，由于\(e^{x}>0\)，\(e^{-x}>0\)，所以\(\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\geq\frac{2\sqrt{e^{x}\times e^{-x}}}{2}=1\)，即双曲余弦函数在\((-\infty,+\infty)\)上有下界\(1\)，但无上界，是无界函数。

双曲正切函数：\(y = \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\)，其值域是\((-1,1)\)，所以双曲正切函数在\((-\infty,+\infty)\)上是有界函数。