考研数学：分部积分法

分部积分法的定义和原理

分部积分公式为\(\int u(x)v^{\prime}(x)dx = u(x)v(x)-\int v(x)u^{\prime}(x)dx\)，通常简记为\(\int udv = uv-\int vdu\)。

其原理是由乘积的求导法则\((uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime\)移项得到\(uv^\prime=(uv)^\prime - u^\prime v\)，然后两边积分就得到分部积分公式。它主要用于解决被积函数是两种不同类型函数乘积（如\(x\sin x\)、\(x e^{x}\)等）的积分问题。

例1：计算\(\int x\cos xdx\)。

令\(u = x\)，\(dv=\cos xdx\)，则\(du = dx\)，\(v=\sin x\)。

根据分部积分公式\(\int udv = uv-\int vdu\)，可得\(\int x\cos xdx=x\sin x-\int\sin xdx=x\sin x+\cos x + C\)。

例2：计算\(\int x^{2}\sin xdx\)。

令\(u = x^{2}\)，\(dv=\sin xdx\)，则\(du = 2xdx\)，\(v = -\cos x\)。

原积分\(=\int x^{2}\sin xdx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos xdx\)。

对于\(\int 2x\cos xdx\)，再用一次分部积分法，令\(u = 2x\)，\(dv=\cos xdx\)，\(du = 2dx\)，\(v=\sin x\)，则\(\int 2x\cos xdx = 2x\sin x-\int 2\sin xdx=2x\sin x + 2\cos x\)。

所以\(\int x^{2}\sin xdx=-x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x+C\)。

例3：计算\(\int x e^{x}dx\)。

令\(u = x\)，\(dv=e^{x}dx\)，则\(du = dx\)，\(v = e^{x}\)。

根据分部积分公式可得\(\int x e^{x}dx=x e^{x}-\int e^{x}dx=x e^{x}-e^{x}+C=(x - 1)e^{x}+C\)。

例4：计算\(\int x^{2}e^{x}dx\)。

令\(u = x^{2}\)，\(dv = e^{x}dx\)，则\(du = 2xdx\)，\(v = e^{x}\)。

原积分\(=\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-\int 2xe^{x}dx\)。

对于\(\int 2xe^{x}dx\)，令\(u = 2x\)，\(dv = e^{x}dx\)，\(du = 2dx\)，\(v = e^{x}\)，则\(\int 2xe^{x}dx=2xe^{x}-\int 2e^{x}dx=2xe^{x}-2e^{x}\)。

所以\(\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C=(x^{2}-2x + 2)e^{x}+C\)。

例5：计算\(\int x\ln xdx\)。

令\(u=\ln x\)，\(dv = xdx\)，则\(du=\frac{1}{x}dx\)，\(v=\frac{1}{2}x^{2}\)。

根据分部积分公式可得\(\int x\ln xdx=\frac{1}{2}x^{2}\ln x-\int\frac{1}{2}x^{2}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}x^{2}\ln x-\frac{1}{4}x^{2}+C\)。

例6：计算\(\int x^{2}\ln xdx\)。

令\(u=\ln x\)，\(dv = x^{2}dx\)，则\(du=\frac{1}{x}dx\)，\(v=\frac{1}{3}x^{3}\)。

原积分\(=\int x^{2}\ln xdx=\frac{1}{3}x^{3}\ln x-\int\frac{1}{3}x^{3}\cdot\frac{1}{x}dx=\frac{1}{3}x^{3}\ln x-\frac{1}{6}x^{3}+C\)。

例7：计算\(\int e^{x}\sin xdx\)。

令\(u = e^{x}\)，\(dv=\sin xdx\)，则\(du = e^{x}dx\)，\(v = -\cos x\)。

根据分部积分公式可得\(\int e^{x}\sin xdx=-e^{x}\cos x+\int e^{x}\cos xdx\)。

对于\(\int e^{x}\cos xdx\)，令\(u = e^{x}\)，\(dv=\cos xdx\)，\(du = e^{x}dx\)，\(v=\sin x\)，则\(\int e^{x}\cos xdx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\sin xdx\)。

设\(I=\int e^{x}\sin xdx\)，则\(I=-e^{x}\cos x + e^{x}\sin x-I\)，解得\(I=\frac{1}{2}e^{x}(\sin x-\cos x)+C\)。

例8：计算\(\int e^{2x}\cos3xdx\)。

令\(u = e^{2x}\)，\(dv=\cos3xdx\)，则\(du = 2e^{2x}dx\)，\(v=\frac{1}{3}\sin3x\)。

原积分\(=\frac{1}{3}e^{2x}\sin3x-\frac{2}{3}\int e^{2x}\sin3xdx\)。

对于\(\int e^{2x}\sin3xdx\)，令\(u = e^{2x}\)，\(dv=\sin3xdx\)，\(du = 2e^{2x}dx\)，\(v = -\frac{1}{3}\cos3x\)，则\(\int e^{2x}\sin3xdx=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}\int e^{2x}\cos3xdx\)。

设\(J=\int e^{2x}\cos3xdx\)，则\(J=\frac{1}{3}e^{2x}\sin3x+\frac{2}{9}e^{2x}\cos3x-\frac{4}{9}J\)，解得\(J=\frac{e^{2x}}{13}(3\sin3x + 2\cos3x)+C\)。

例9：计算\(\int x\arctan xdx\)。

令\(u=\arctan x\)，\(dv = xdx\)，则\(du=\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)，\(v=\frac{1}{2}x^{2}\)。

根据分部积分公式可得\(\int x\arctan xdx=\frac{1}{2}x^{2}\arctan x-\frac{1}{2}\int\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}dx\)。

对于\(\int\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}dx\)，变形为\(\int(1-\frac{1}{1 + x^{2}})dx=x-\arctan x + C\)。

所以\(\int x\arctan xdx=\frac{1}{2}x^{2}\arctan x-\frac{1}{2}(x-\arctan x)+C=\frac{1}{2}(x^{2}+ 1)\arctan x-\frac{1}{2}x+C\)。

例10：计算\(\int x^{2}\arctan xdx\)。

令\(u=\arctan x\)，\(dv = x^{2}dx\)，则\(du=\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)，\(v=\frac{1}{3}x^{3}\)。

原积分\(=\frac{1}{3}x^{3}\arctan x-\frac{1}{3}\int\frac{x^{4}}{1 + x^{2}}dx\)。

对于\(\int\frac{x^{4}}{1 + x^{2}}dx\)，通过长除法或其他变形可得\(\int(x^{2}-1+\frac{1}{1 + x^{2}})dx=\frac{1}{3}x^{3}-x+\arctan x + C\)。

所以\(\int x^{2}\arctan xdx=\frac{1}{3}x^{3}\arctan x-(\frac{1}{3}x^{3}-x+\arctan x)+C=\frac{1}{3}(x^{3}+3x)\arctan x-\frac{1}{3}x^{3}+C\)。

例11：计算\(\int e^{x}\ln xdx\)。

令\(u=\ln x\)，\(dv = e^{x}dx\)，则\(du=\frac{1}{x}dx\)，\(v = e^{x}\)。

根据分部积分公式可得\(\int e^{x}\ln xdx=e^{x}\ln x-\int\frac{e^{x}}{x}dx\)。这里\(\int\frac{e^{x}}{x}dx\)不能用初等函数表示，所以\(\int e^{x}\ln xdx=e^{x}\ln x - Ei(x)+C\)，其中\(Ei(x)\)是指数积分函数。

例12：计算\(\int\sin^{2}xdx\)。

令\(u=\sin x\)，\(dv=\sin xdx\)，则\(du=\cos xdx\)，\(v = -\cos x\)。

根据分部积分公式可得\(\int\sin^{2}xdx=-\sin x\cos x+\int\cos^{2}xdx\)。

又因为\(\cos^{2}x = 1-\sin^{2}x\)，所以\(\int\sin^{2}xdx=-\sin x\cos x+\int(1 - \sin^{2}x)dx\)。

设\(I=\int\sin^{2}xdx\)，则\(I=-\sin x\cos x + x-I\)，解得\(I=\frac{1}{2}(x-\sin x\cos x)+C\)。

例13：计算\(\int\sin^{3}xdx\)。

令\(u=\sin^{2}x\)，\(dv=\sin xdx\)，则\(du = 2\sin x\cos xdx\)，\(v = -\cos x\)。

原积分\(=\int\sin^{3}xdx=-\sin^{2}x\cos x + 2\int\sin x\cos^{2}xdx\)。

对于\(\int\sin x\cos^{2}xdx\)，令\(t=\cos x\)，\(dt = -\sin xdx\)，则\(\int\sin x\cos^{2}xdx=-\int t^{2}dt=-\frac{1}{3}t^{3}+C=-\frac{1}{3}\cos^{3}x + C\)。

所以\(\int\sin^{3}xdx=-\sin^{2}x\cos x-\frac{2}{3}\cos^{3}x + C\)。

例14：计算\(\int x^{3}e^{-x^{2}}dx\)。

令\(t = x^{2}\)，则\(dt = 2xdx\)，\(x^{3}dx=\frac{1}{2}t dt\)。

原积分变为\(\frac{1}{2}\int t e^{-t}dt\)。

令\(u = t\)，\(dv = e^{-t}dt\)，则\(du = dt\)，\(v=-e^{-t}\)。

根据分部积分公式可得\(\frac{1}{2}\int t e^{-t}dt=-\frac{1}{2}te^{-t}+\frac{1}{2}\int e^{-t}dt=-\frac{1}{2}te^{-t}-\frac{1}{2}e^{-t}+C=-\frac{1}{2}(x^{2}+1)e^{-x^{2}}+C\)。

例15：计算\(\int x\sqrt{1 + x^{2}}\ln xdx\)。

令\(u=\ln x\)，\(dv = x\sqrt{1 + x^{2}}dx\)。

先求\(v\)，令\(t = 1 + x^{2}\)，\(dt = 2xdx\)，则\(v=\frac{1}{3}(1 + x^{2})^{\frac{3}{2}}\)。

根据分部积分公式可得\(\int x\sqrt{1 + x^{2}}\ln xdx=\frac{1}{3}(1 + x^{2})^{\frac{3}{2}}\ln x-\frac{1}{3}\int\frac{(1 + x^{2})^{\frac{3}{2}}}{x}dx\)。

对于\(\int\frac{(1 + x^{2})^{\frac{3}{2}}}{x}dx\)，可通过三角代换等方法进一步求解（令\(x=\tan\theta\)）。

例16：计算\(\int\arcsin x\cdot x^{2}dx\)。

令\(u=\arcsin x\)，\(dv = x^{2}dx\)，则\(du=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\)，\(v=\frac{1}{3}x^{3}\)。

根据分部积分公式可得\(\int\arcsin x\cdot x^{2}dx=\frac{1}{3}x^{3}\arcsin x-\frac{1}{3}\int\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\)。

对于\(\int\frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx\)，令\(t = 1 - x^{2}\)，\(dt=-2xdx\)，\(x^{2}=1 - t\)，则\(x^{3}=x\cdot x^{2}=x(1 - t)\)，积分可进一步转化为\(-\frac{1}{2}\int\frac{(1 - t)}{\sqrt{t}}dt\)，再进行计算。

例17：计算\(\int x^{2}e^{x}\cos xdx\)

令\(u = x^{2}e^{x}\)，\(dv = \cos xdx\)，则\(du=(x^{2}e^{x}+2xe^{x})dx\)，\(v=\sin x\)。

根据分部积分公式可得\(\int x^{2}e^{x}\cos xdx=x^{2}e^{x}\sin x-\int(x^{2}e^{x}+2xe^{x})\sin xdx\)

对于\(\int(x^{2}e^{x}+2xe^{x})\sin xdx\)，令\(u_1=(x^{2}e^{x}+2xe^{x})\)，\(dv_1=\sin xdx\)，则\(du_1=(x^{2}e^{x}+4xe^{x}+2e^{x})dx\)，\(v_1 = -\cos x\)。

那么\(\int(x^{2}e^{x}+2xe^{x})\sin xdx=-(x^{2}e^{x}+2xe^{x})\cos x+\int(x^{2}e^{x}+4xe^{x}+2e^{x})\cos xdx\)

设\(I = \int x^{2}e^{x}\cos xdx\)，则\(I=x^{2}e^{x}\sin x+(x^{2}e^{x}+2xe^{x})\cos x - \int(x^{2}e^{x}+4xe^{x}+2e^{x})\cos xdx\)

经过移项和整理（过程较复杂，需要仔细运算），最终可得\(I=\frac{1}{2}e^{x}(x^{2}\sin x + x^{2}\cos x + 2x\sin x - 2x\cos x + 2\sin x)+C\)

例18：计算\(\int e^{2x}\sin^{2}xdx\)

先利用三角函数公式\(\sin^{2}x=\frac{1 - \cos2x}{2}\)，原积分变为\(\int e^{2x}\left(\frac{1 - \cos2x}{2}\right)dx=\frac{1}{2}\int e^{2x}dx-\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos2xdx\)

对于\(\frac{1}{2}\int e^{2x}dx=\frac{1}{4}e^{2x}+C_1\)

对于\(\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos2xdx\)，令\(u = e^{2x}\)，\(dv=\cos2xdx\)，则\(du = 2e^{2x}dx\)，\(v=\frac{1}{2}\sin2x\)。

根据分部积分公式可得\(\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos2xdx=\frac{1}{4}e^{2x}\sin2x - \frac{1}{2}\int e^{2x}\sin2xdx\)

对于\(\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin2xdx\)，令\(u = e^{2x}\)，\(dv=\sin2xdx\)，则\(du = 2e^{2x}dx\)，\(v = -\frac{1}{2}\cos2x\)。

根据分部积分公式可得\(\frac{1}{2}\int e^{2x}\sin2xdx=-\frac{1}{4}e^{2x}\cos2x+\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos2xdx\)

设\(J=\frac{1}{2}\int e^{2x}\cos2xdx\)，则\(J=\frac{1}{4}e^{2x}\sin2x+\frac{1}{4}e^{2x}\cos2x - J\)，解得\(J=\frac{1}{8}e^{2x}(\sin2x+\cos2x)+C_2\)

所以原积分\(\int e^{2x}\sin^{2}xdx=\frac{1}{4}e^{2x}-\frac{1}{8}e^{2x}(\sin2x+\cos2x)+C\)

例19：计算\(\int x^{3}\arctan xdx\)

令\(u=\arctan x\)，\(dv = x^{3}dx\)，则\(du=\frac{1}{1 + x^{2}}dx\)，\(v=\frac{1}{4}x^{4}\)。

根据分部积分公式可得\(\int x^{3}\arctan xdx=\frac{1}{4}x^{4}\arctan x-\frac{1}{4}\int\frac{x^{4}}{1 + x^{2}}dx\)

对于\(\int\frac{x^{4}}{1 + x^{2}}dx\)，进行多项式除法\(x^{4}\div(1 + x^{2})=x^{2}-1+\frac{1}{1 + x^{2}}\)

所以\(\int\frac{x^{4}}{1 + x^{2}}dx=\int(x^{2}-1+\frac{1}{1 + x^{2}})dx=\frac{1}{3}x^{3}-x+\arctan x + C\)

则\(\int x^{3}\arctan xdx=\frac{1}{4}x^{4}\arctan x - \frac{1}{4}(\frac{1}{3}x^{3}-x+\arctan x)+C=\frac{1}{4}(x^{4}+ 1)\arctan x-\frac{1}{12}x^{3}+\frac{1}{4}x+C\)