1. 向量的定义

向量是既有大小又有方向的量。在数学和物理学等领域中广泛应用。大小也称为向量的模（或长度），方向则描述了向量在空间中的指向。例如，物理中的力就是一个向量，它既有大小（力的大小用牛顿来衡量），又有方向（力的作用方向）。

向量可以用有向线段来表示。有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。比如，在平面直角坐标系中，从点\(A(1,1)\)到点\(B(3,4)\)的有向线段就可以表示一个向量，它的大小（模）可以通过计算两点间的距离得到，方向是从\(A\)指向\(B\)。

2. 向量的表示方法

几何表示法：用有向线段表示向量。通常以\(A\)为起点，\(B\)为终点的向量记作\(\overrightarrow{AB}\)。例如，在一个三角形\(ABC\)中，\(\overrightarrow{AB}\)、\(\overrightarrow{BC}\)、\(\overrightarrow{CA}\)分别表示三角形三边对应的向量。

字母表示法：可以用小写字母\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\)、\(\vec{c}\)等来表示向量。比如，在研究向量的运算时，我们可以说\(\vec{a}+\vec{b}\)，这里\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)分别代表两个向量。

坐标表示法：在平面直角坐标系中，若向量\(\overrightarrow{AB}\)的起点\(A(x_{1},y_{1})\)，终点\(B(x_{2},y_{2})\)，则向量\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})\)。例如，若\(A(1,2)\)，\(B(3,5)\)，那么\(\overrightarrow{AB}=(3 - 1,5 - 2)=(2,3)\)。在三维空间直角坐标系中，对于起点\(A(x_{1},y_{1},z_{1})\)，终点\(B(x_{2},y_{2},z_{2})\)的向量\(\overrightarrow{AB}=(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1},z_{2}-z_{1})\)。

3. 向量的模

向量的模是指向量的大小。对于向量\(\vec{a}\)，如果\(\vec{a}=(x,y)\)（在平面直角坐标系中），那么它的模\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)。例如，对于向量\(\vec{a}=(3,4)\)，它的模\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5\)。在三维空间中，若向量\(\vec{a}=(x,y,z)\)，则\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)。

4. 零向量和单位向量

零向量：长度（模）为\(0\)的向量称为零向量，记作\(\vec{0}\)。零向量的方向是任意的。在数学运算中，它有着特殊的作用，比如在向量加法中，任何向量加上零向量都等于它本身，即\(\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\)。

单位向量：模等于\(1\)的向量称为单位向量。对于任意非零向量\(\vec{a}\)，与它同方向的单位向量是\(\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}\)。例如，对于向量\(\vec{a}=(3,4)\)，它的模\(\vert\vec{a}\vert = 5\)，那么与\(\vec{a}\)同方向的单位向量是\((\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)。单位向量常用于表示向量的方向，在研究向量的投影等问题时经常会用到。

5. 平行向量和相等向量

平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。规定：零向量与任意向量平行。例如，向量\(\vec{a}=(1,2)\)和向量\(\vec{b}=(2,4)\)是平行向量，因为\(\vec{b}=2\vec{a}\)，它们的方向相同。而向量\(\vec{c}=(-1,-2)\)与\(\vec{a}\)也是平行向量，不过方向相反。

相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。例如，在平面直角坐标系中，若有向量\(\vec{a}\)从点\(A(1,1)\)到点\(B(3,3)\)，向量\(\vec{b}\)从点\(C(2,2)\)到点\(D(4,4)\)，那么\(\vec{a}\)和\(\vec{b}\)是相等向量，因为它们的模相等，且方向都是沿着直线\(y = x\)向右上方的方向。

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