1. 旋转曲面定义

旋转曲面是指一条平面曲线绕着该平面内的一条定直线旋转所形成的曲面。

这条定直线称为旋转轴，平面曲线称为母线。

例如，一个圆绕着它的直径旋转一周就会形成一个球面；

例如，一条直线绕着与之垂直的另一条直线旋转会形成一个圆柱面。

2. 旋转曲面方程的推导

设母线\(C\)在\(yOz\)平面上的方程为\(f(y,z)=0\)，旋转轴为\(z\)轴。对于母线上任意一点\(M_0(0,y_0,z_0)\)（满足\(f(y_0,z_0)=0\)），当母线绕\(z\)轴旋转时，点\(M_0\)旋转到点\(M(x,y,z)\)。

此时，点\(M\)到\(z\)轴的距离等于点\(M_0\)到\(z\)轴的距离，即\(\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\vert y_0\vert\)，而\(z = z_0\)。因为\(f(y_0,z_0)=0\)，所以旋转曲面的方程为\(f(\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}},z)=0\)。

同理，如果母线在\(xOz\)平面上，方程为\(g(x,z)=0\)，绕\(z\)轴旋转后的旋转曲面方程为\(g(\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}},z)=0\)；如果绕\(x\)轴旋转，方程为\(g(x,\pm\sqrt{y^{2}+z^{2}})=0\)。

3. 常见旋转曲面及其方程

圆柱面

母线是平行于\(z\)轴的直线\(y = R\)（在\(xOy\)平面上），绕\(z\)轴旋转得到的圆柱面方程为\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\)。从几何角度看，平面上距离\(z\)轴为\(R\)的直线绕\(z\)轴旋转一周后，形成的曲面上任意一点到\(z\)轴的距离都为\(R\)，所以方程为\(x^{2}+y^{2}=R^{2}\)。

圆锥面

母线是在\(yOz\)平面上的直线\(z = ky\)（\(k\)为常数），绕\(z\)轴旋转。由\(z = ky\)可得\(y=\frac{z}{k}\)，旋转后的圆锥面方程为\(z^{2}=k^{2}(x^{2}+y^{2})\)。其几何意义是，母线上的点绕\(z\)轴旋转后，\(z\)坐标不变，点到\(z\)轴的距离与\(z\)坐标成固定比例，从而得到此方程。

旋转抛物面

母线是在\(yOz\)平面上的抛物线\(z = ay^{2}\)（\(a>0\)），绕\(z\)轴旋转。将\(y=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)代入\(z = ay^{2}\)，得到旋转抛物面方程为\(z=a(x^{2}+y^{2})\)。在几何上，抛物线绕\(z\)轴旋转后，\(z\)坐标与点到\(z\)轴距离的平方成比例，形成了这种形状的曲面。

4. 应用示例

例1：求由\(yOz\)平面上的曲线\(z = e^{y}\)（\(y\geqslant0\)）绕\(z\)轴旋转所形成的旋转曲面方程。

根据旋转曲面方程的推导，将\(y=\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)代入\(z = e^{y}\)，得到旋转曲面方程为\(z = e^{\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)，因为\(y\geqslant0\)，所以取\(z = e^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)。

例2：已知旋转曲面是由\(xOz\)平面上的曲线\(z=\sin x\)绕\(x\)轴旋转而成，求该旋转曲面方程。

按照绕\(x\)轴旋转曲面方程的生成规则，将\(z=\pm\sqrt{y^{2}+z^{2}}\)代入\(z=\sin x\)，得到旋转曲面方程为\(\pm\sqrt{y^{2}+z^{2}}=\sin x\)，即\(y^{2}+z^{2}=\sin^{2}x\)。

例3：判断方程\(x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\)是否为旋转曲面方程，如果是，求出母线和旋转轴。

可以将方程变形为\(x^{2}+y^{2}=z^{2}+1\)。观察发现它是一个旋转曲面方程，其形式类似于圆锥面方程。

假设它是由\(yOz\)平面上的母线\(y = \sqrt{z^{2}+1}\)（或\(y = -\sqrt{z^{2}+1}\)）绕\(z\)轴旋转而成的。因为在旋转过程中，\(z\)坐标不变，点到\(z\)轴的距离由\(y\)的绝对值表示，符合旋转曲面的特征，所以旋转轴是\(z\)轴。

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