基础函数微分

1. 已知\(y = 5x^{3}\)，求\(dy\)。

解：根据求导公式\((X^n)^\prime=nX^{n - 1}\)，先对\(y\)求导得\(y^\prime = 15x^{2}\)，由微分公式\(dy=y^\prime dx\)，所以\(dy = 15x^{2}dx\)。

2. 若\(y=\sin x\)，求\(dy\)。

解：因为\((\sin x)^\prime=\cos x\)，所以\(dy=\cos xdx\)。

3. 设\(y = e^{2x}\)，求\(dy\)。

解：对\(y = e^{2x}\)求导，根据复合函数求导法则，令\(u = 2x\)，则\(y = e^{u}\)，\(y^\prime = e^{u}\times u^\prime=e^{2x}\times2 = 2e^{2x}\)，所以\(dy = 2e^{2x}dx\)。

4. 已知\(y=\ln x\)，求\(dy\)。

解：\((\ln x)^\prime=\frac{1}{x}\)，则\(dy=\frac{1}{x}dx\)。

复合函数微分

5. 设\(y=(2x + 1)^{5}\)，求\(dy\)。

解：令\(u = 2x+1\)，则\(y = u^{5}\)，先对\(y\)关于\(u\)求导得\(y^\prime_{u}=5u^{4}\)，再对\(u\)关于\(x\)求导得\(u^\prime_{x}=2\)，根据复合函数求导法则\(y^\prime = y^\prime_{u}\times u^\prime_{x}=5(2x + 1)^{4}\times2 = 10(2x + 1)^{4}\)，所以\(dy = 10(2x + 1)^{4}dx\)。

6. 若\(y=\cos(3x^{2})\)，求\(dy\)。

解：令\(u = 3x^{2}\)，则\(y=\cos u\)，\(y^\prime_{u}=-\sin u\)，\(u^\prime_{x}=6x\)，所以\(y^\prime = -\sin(3x^{2})\times6x=-6x\sin(3x^{2})\)，则\(dy=-6x\sin(3x^{2})dx\)。

隐函数微分

7. 已知\(x^{2}+y^{2}=25\)，求\(dy\)。

解：对等式两边同时求导，\(2x + 2y\cdot y^\prime = 0\)，解出\(y^\prime=-\frac{x}{y}\)，所以\(dy = -\frac{x}{y}dx\)。

8. 由方程\(e^{x+y}-xy = 0\)确定\(y\)是\(x\)的函数，求\(dy\)。

解：对\(e^{x+y}-xy = 0\)两边求导，\(e^{x+y}(1 + y^\prime)-(y + xy^\prime)=0\)，展开得\(e^{x+y}+e^{x+y}y^\prime - y - xy^\prime = 0\)，移项整理得\(y^\prime=\frac{y - e^{x+y}}{e^{x+y}-x}\)，所以\(dy=\frac{y - e^{x+y}}{e^{x+y}-x}dx\)。

高阶微分

9. 设\(y = x^{4}\)，求\(d^{2}y\)。

解：先求一阶导数\(y^\prime = 4x^{3}\)，再求二阶导数\(y^{\prime\prime}=12x^{2}\)，所以\(d^{2}y=y^{\prime\prime}dx^{2}=12x^{2}dx^{2}\)。

10. 已知\(y=\sin(2x)\)，求\(d^{3}y\)。

解：\(y^\prime = 2\cos(2x)\)，\(y^{\prime\prime}=-4\sin(2x)\)，\(y^{\prime\prime\prime}=-8\cos(2x)\)，则\(d^{3}y=-8\cos(2x)dx^{3}\)。

微分方程

11. 求微分方程\(y^\prime + 2xy = 0\)的通解。

解：这是一个一阶线性微分方程，分离变量得\(\frac{dy}{y}=-2xdx\)，两边积分\(\int\frac{dy}{y}=-\int2xdx\)，得\(\ln|y|=-x^{2}+C_{1}\)，即\(y = Ce^{-x^{2}}\)（\(C = e^{C_{1}}\)）。

12. 求解微分方程\(x^{2}y^\prime - xy = 1\)。

解：方程可化为\(y^\prime-\frac{1}{x}y=\frac{1}{x^{2}}\)，这是一阶线性非齐次微分方程，其通解公式为\(y = e^{\int\frac{1}{x}dx}(\int\frac{1}{x^{2}}e^{-\int\frac{1}{x}dx}dx+C)\)。先计算\(e^{\int\frac{1}{x}dx}=e^{\ln x}=x\)，\(e^{-\int\frac{1}{x}dx}=\frac{1}{x}\)，则\(y = x(\int\frac{1}{x^{2}}\cdot\frac{1}{x}dx+C)=x(\int\frac{1}{x^{3}}dx+C)=x(-\frac{1}{2x^{2}}+C)=-\frac{1}{2x}+Cx\)。

13. 求微分方程\(y^{\prime\prime}+y^\prime - 2y = 0\)的通解。

解：特征方程为\(r^{2}+r - 2 = 0\)，即\((r + 2)(r - 1)=0\)，解得\(r_{1}=1\)，\(r_{2}=-2\)，所以通解为\(y = C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x}\)。

14. 已知微分方程\(y^{\prime\prime}-4y^\prime + 4y = 0\)，\(y(0)=1\)，\(y^\prime(0)=2\)，求特解。

解：特征方程为\(r^{2}-4r + 4 = 0\)，即\((r - 2)^{2}=0\)，解得\(r = 2\)（二重根），通解为\(y=(C_{1}+C_{2}x)e^{2x}\)。由\(y(0)=1\)得\(C_{1}=1\)，对\(y=(C_{1}+C_{2}x)e^{2x}\)求导得\(y^\prime=(2C_{1}+2C_{2}x+C_{2})e^{2x}\)，由\(y^\prime(0)=2\)得\(2C_{1}+C_{2}=2\)，将\(C_{1}=1\)代入解得\(C_{2}=0\)，所以特解为\(y = e^{2x}\)。

应用问题中的微分

15. 一质点沿曲线\(y=\frac{1}{3}x^{3}\)运动，已知其横坐标\(x\)对时间\(t\)的变化率为\(x^\prime(t)=2t\)，求当\(t = 1\)时，质点纵坐标\(y\)对时间\(t\)的变化率。

解：由\(y=\frac{1}{3}x^{3}\)，对\(t\)求导得\(y^\prime(t)=x^{2}\cdot x^\prime(t)\)。已知\(x^\prime(t)=2t\)，当\(t = 1\)时，\(x^\prime(1)=2\)。此时\(x(1)\)可由\(x^\prime(t)=2t\)积分得\(x(t)=t^{2}+C\)，假设\(x(0)=0\)，则\(C = 0\)，\(x(1)=1\)。所以\(y^\prime(1)=1^{2}\times2 = 2\)。

16. 一个球形气球正在充气，其半径\(r\)随时间\(t\)的变化率为\(r^\prime(t)=2\)，求当半径\(r = 5\)时，气球体积\(V\)对时间\(t\)的变化率。

解：已知球的体积公式\(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\)，对\(t\)求导得\(V^\prime(t)=4\pi r^{2}\cdot r^\prime(t)\)。当\(r = 5\)，\(r^\prime(t)=2\)时，\(V^\prime(5)=4\pi\times5^{2}\times2 = 200\pi\)。

凑微分法相关例题

17. 计算\(\int x\cos(x^{2})dx\)。

解：令\(u = x^{2}\)，则\(du = 2xdx\)，\(xdx=\frac{1}{2}du\)，原式可化为\(\frac{1}{2}\int\cos udu=\frac{1}{2}\sin u+C=\frac{1}{2}\sin(x^{2})+C\)。

18. 求\(\int\frac{1}{x\ln x}dx\)。

解：令\(u=\ln x\)，则\(du=\frac{1}{x}dx\)，原式变为\(\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C=\ln|\ln x|+C\)。

全微分例题

19. 已知函数\(z = x^{2}y + 3xy^{4}\)，求\(dz\)。

解：先求\(z\)对\(x\)的偏导数\(\frac{\partial z}{\partial x}=2xy + 3y^{4}\)，再求\(z\)对\(y\)的偏导数\(\frac{\partial z}{\partial y}=x^{2}+12xy^{3}\)，所以\(dz=(2xy + 3y^{4})dx+(x^{2}+12xy^{3})dy\)。

20. 验证\(\frac{xdy - ydx}{x^{2}+y^{2}}\)在右半平面\((x>0)\)内是某个函数的全微分，并求出这个函数。

解：设\(P=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\)，\(Q=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\)，则\(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\)，\(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}\)，在右半平面\((x>0)\)内\(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\)，所以\(\frac{xdy - ydx}{x^{2}+y^{2}}\)是某个函数的全微分。

取特殊路径\((1,0)\)到\((x,0)\)再到\((x,y)\)，则\(u(x,y)=\int_{(1,0)}^{(x,y)}\frac{xdy - ydx}{x^{2}+y^{2}}=\int_{1}^{x}0dx+\int_{0}^{y}\frac{x}{x^{2}+y^{2}}dy=\arctan\frac{y}{x}+C\)。

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