1. 函数极值的定义

设函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域\(U(x_0)\)内有定义，如果对于去心邻域\(\dot{U}(x_0)\)内的任意\(x\)，有\(f(x)<f(x_0)\)（或\(f(x)>f(x_0)\)），那么就称\(f(x_0)\)是函数\(y = f(x)\)的一个极大值（或极小值）。此时点\(x_0\)称为函数\(y = f(x)\)的极大值点（或极小值点）。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

2. 函数极值的判定方法

第一判定定理（必要条件）

设函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)处可导，且在\(x_0\)处取得极值，那么\(f^{\prime}(x_0)=0\)。需要注意的是，\(f^{\prime}(x_0)=0\)是\(x_0\)为极值点的必要条件，但不是充分条件。例如\(y = x^{3}\)，\(y^{\prime}=3x^{2}\)，当\(x = 0\)时，\(y^{\prime}(0)=0\)，但\(x = 0\)不是极值点。

第二判定定理（充分条件）

设函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)处连续，且在\(x_0\)的某去心邻域\(\dot{U}(x_0)\)内可导。

若当\(x\in(x_0-\delta,x_0)\)时，\(f^{\prime}(x)>0\)，当\(x\in(x_0,x_0+\delta)\)时，\(f^{\prime}(x)<0\)，那么\(f(x)\)在\(x_0\)处取得极大值。

若当\(x\in(x_0-\delta,x_0)\)时，\(f^{\prime}(x)<0\)，当\(x\in(x_0,x_0+\delta)\)时，\(f^{\prime}(x)>0\)，那么\(f(x)\)在\(x_0\)处取得极小值。

若当\(x\in\dot{U}(x_0)\)时，\(f^{\prime}(x)\)的符号保持不变，那么\(f(x)\)在\(x_0\)处没有极值。

第二判定定理（利用二阶导数）

设函数\(y = f(x)\)在点\(x_0\)处具有二阶导数且\(f^{\prime}(x_0)=0\)，\(f^{\prime\prime}(x_0)\neq0\)。

若\(f^{\prime\prime}(x_0)<0\)，则函数\(y = f(x)\)在\(x_0\)处取得极大值。

若\(f^{\prime\prime}(x_0)>0\)，则函数\(y = f(x)\)在\(x_0\)处取得极小值。

3. 求函数极值的步骤

步骤一：求出函数\(y = f(x)\)的定义域。

步骤二：求函数的一阶导数\(f^{\prime}(x)\)。

步骤三：令\(f^{\prime}(x)=0\)，求出所有驻点（即导数为\(0\)的点）以及导数不存在的点。

步骤四：对于驻点和导数不存在的点，用极值的判定定理来判断这些点是否为极值点，若是，求出相应的极值。

例1：求函数\(y = x^{3}-3x^{2}-9x + 5\)的极值。

首先求函数的定义域为\((-\infty,+\infty)\)。

求一阶导数\(y^{\prime}=3x^{2}-6x - 9 = 3(x^{2}-2x - 3)=3(x + 1)(x - 3)\)。

令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x=-1\)或\(x = 3\)。

求二阶导数\(y^{\prime\prime}=6x - 6\)。

当\(x=-1\)时，\(y^{\prime\prime}(-1)=-12<0\)，所以\(x=-1\)是极大值点，极大值为\(y(-1)=10\)。

当\(x = 3\)时，\(y^{\prime\prime}(3)=12>0\)，所以\(x = 3\)是极小值点，极小值为\(y(3)=-22\)。

例2：求函数\(y=(x - 1)\sqrt[3]{x^{2}}\)的极值。

函数的定义域为\((-\infty,+\infty)\)。

对函数求导\(y^{\prime}=x^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}(x - 1)x^{-\frac{1}{3}}=\frac{3x + 2(x - 1)}{3x^{\frac{1}{3}}}=\frac{5x - 2}{3x^{\frac{1}{3}}}\)。

令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x=\frac{2}{5}\)，且\(x = 0\)时，导数不存在。

当\(x\in(-\infty,0)\)时，\(y^{\prime}>0\)；当\(x\in(0,\frac{2}{5})\)时，\(y^{\prime}<0\)；当\(x\in(\frac{2}{5},+\infty)\)时，\(y^{\prime}>0\)。

所以\(x = 0\)是极大值点，极大值为\(y(0)=0\)；\(x=\frac{2}{5}\)是极小值点，极小值为\(y(\frac{2}{5})=-\frac{3}{5}\sqrt[3]{\frac{4}{25}}\)。

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