考研数学：函数图形的描绘
一、函数图形描绘的步骤
1、确定函数的定义域：
明确函数\(y = f(x)\)中\(x\)的取值范围，这是描绘函数图形的基础。
例如，对于函数\(y=\frac{1}{x - 1}\)，其定义域为\(x\neq1\)。
2、分析函数的奇偶性：
若\(f(-x)=f(x)\)，则函数为偶函数，其图像关于\(y\)轴对称；
若\(f(-x)= - f(x)\)，则函数为奇函数，其图像关于原点对称。
例如，\(y = x^{2}\)是偶函数，\(y = x^{3}\)是奇函数。
3、分析函数的周期性：
若存在非零常数\(T\)，使得\(f(x + T)=f(x)\)对定义域内的任意\(x\)都成立，则函数\(f(x)\)是周期函数，\(T\)为周期。
如\(y = \sin x\)是周期为\(2\pi\)的周期函数。利用奇偶性和周期性可以简化函数图形的描绘过程。
4、求函数的一阶导数并分析单调性和极值
求出\(y^{\prime}=f^{\prime}(x)\)，令\(y^{\prime}=0\)，解出驻点，通过判断一阶导数在不同区间的符号来确定函数的单调性。
例如，对于函数\(y = x^{3}-3x\)，\(y^{\prime}=3x^{2}-3 = 3(x + 1)(x - 1)\)。当\(x<-1\)或\(x>1\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增；当\(-1<x<1\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减。\(x = - 1\)为极大值点，\(y(-1)=2\)；\(x = 1\)为极小值点，\(y(1)= - 2\)。
5、求函数的二阶导数并分析凹凸性和拐点
求出\(y^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}(x)\)，令\(y^{\prime\prime}=0\)，解出可能的拐点横坐标，再根据二阶导数在不同区间的符号判断函数的凹凸性。
例如，对于上述函数\(y = x^{3}-3x\)，\(y^{\prime\prime}=6x\)。当\(x<0\)时，\(y^{\prime\prime}<0\)，函数图像是凸的；当\(x>0\)时，\(y^{\prime\prime}>0\)，函数图像是凹的，\((0,0)\)是拐点。
6、求函数的水平渐近线：
当\(\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=A\)或\(\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=A\)（\(A\)为常数）时，\(y = A\)是函数的水平渐近线。
例如，对于\(y=\frac{1}{x}\)，\(\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}=0\)，\(\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{x}=0\)，所以\(y = 0\)是水平渐近线。
7、求函数的垂直渐近线：
当\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=\pm\infty\)或\(\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)=\pm\infty\)（\(a\)为常数）时，\(x = a\)是函数的垂直渐近线。
如对于\(y=\frac{1}{x - 1}\)，\(\lim_{x\rightarrow1^{+}}\frac{1}{x - 1}=+\infty\)，\(\lim_{x\rightarrow1^{-}}\frac{1}{x - 1}=-\infty\)，所以\(x = 1\)是垂直渐近线。
8、求函数的斜渐近线：
若\(\lim_{x\rightarrow+\infty}[f(x)-(kx + b)]=0\)或\(\lim_{x\rightarrow-\infty}[f(x)-(kx + b)]=0\)（\(k\neq0\)），其中\(k=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{x}\)，\(b=\lim_{x\rightarrow+\infty}[f(x)-kx]\)，则\(y = kx + b\)是斜渐近线。
9、列表并描绘函数图形：
将上述信息（定义域、单调性、极值、凹凸性、拐点、渐近线）整理成表格，然后根据表格中的信息，选取一些特殊点（如驻点、拐点、与坐标轴的交点等），描绘出函数的大致图形。
二、描绘函数\(y = \frac{x^{2}}{x^{2}-1}\)的图形
定义域：
\(x^{2}-1\neq0\)，即\(x\neq\pm1\)，定义域为\((-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)\)。
奇偶性：
\(f(-x)=\frac{(-x)^{2}}{(-x)^{2}-1}=\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=f(x)\)，函数为偶函数，图像关于\(y\)轴对称。
一阶导数：
\(y^{\prime}=\frac{2x(x^{2}-1)-2x^{3}}{(x^{2}-1)^{2}}=\frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}}\)。
令\(y^{\prime}=0\)，解得\(x = 0\)。
当\(x< - 1\)或\(-1<x<0\)时，\(y^{\prime}>0\)，函数单调递增；
当\(0<x<1\)或\(x>1\)时，\(y^{\prime}<0\)，函数单调递减。\(x = 0\)为极大值点，\(y(0)=0\)。
二阶导数：
\(y^{\prime\prime}=\frac{-2(x^{2}-1)^{2}+8x^{2}(x^{2}-1)}{(x^{2}-1)^{4}}=\frac{2(3x^{2}+1)}{(x^{2}-1)^{3}}\)。
令\(y^{\prime\prime}=0\)，无解。
当\(x<-1\)或\(x>1\)时，\(y^{\prime\prime}>0\)，函数图像是凹的；
当\(-1<x<1\)时，\(y^{\prime\prime}<0\)，函数图像是凸的。
渐近线：
\(\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=1\)，所以\(y = 1\)是水平渐近线；
\(\lim_{x\rightarrow1^{+}}\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=+\infty\)，\(\lim_{x\rightarrow1^{-}}\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=-\infty\)
\(\lim_{x\rightarrow-1^{+}}\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=+\infty\)，\(\lim_{x\rightarrow-1^{-}}\frac{x^{2}}{x^{2}-1}=-\infty\)
所以\(x=\pm1\)是垂直渐近线。
列表并描绘图形：
通过上述分析，列出表格（包含区间、单调性、凹凸性等信息），然后选取一些特殊点（如\(x = - 2\)，\(x = 0\)，\(x = 2\)等）计算函数值，最后根据表格和特殊点描绘出函数的图形。
