1. 两平面的夹角定义

两平面的夹角是指这两个平面的法向量之间的夹角（通常取锐角或直角）。

设平面\(\pi_1\)的方程是\(A_1x + B_1y + C_1z+D_1 = 0\)，其法向量\(\vec{n}_1=(A_1,B_1,C_1)\)；平面\(\pi_2\)的方程是\(A_2x + B_2y + C_2z+D_2 = 0\)，其法向量\(\vec{n}_2=(A_2,B_2,C_2)\)。

那么两平面\(\pi_1\)和\(\pi_2\)的夹角\(\theta\)（\(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\)）满足\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2\vert}{\vert\vec{n}_1\vert\vert\vec{n}_2\vert}\)，即\(\cos\theta=\frac{\vert A_1A_2 + B_1B_2+C_1C_2\vert}{\sqrt{A_1^{2}+B_1^{2}+C_1^{2}}\sqrt{A_2^{2}+B_2^{2}+C_2^{2}}}\)。

2. 特殊情况说明

当两平面平行时，它们的法向量平行，此时\(\vec{n}_1 = k\vec{n}_2\)（\(k\)为常数），即\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\)，并且两平面夹角\(\theta = 0\)或\(\pi\)，在计算夹角公式中\(\cos\theta=\pm1\)。

当两平面垂直时，它们的法向量垂直，\(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2 = 0\)，即\(A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2 = 0\)，此时两平面夹角\(\theta=\frac{\pi}{2}\)，\(\cos\theta = 0\)。

3. 应用示例

例1：求平面\(\pi_1:2x - y + z - 1 = 0\)与平面\(\pi_2:x + y + 2z+3 = 0\)的夹角。

首先，平面\(\pi_1\)的法向量\(\vec{n}_1=(2,-1,1)\)，平面\(\pi_2\)的法向量\(\vec{n}_2=(1,1,2)\)。

根据两平面夹角公式\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2\vert}{\vert\vec{n}_1\vert\vert\vec{n}_2\vert}\)，计算\(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2 = 2\times1+(-1)\times1 + 1\times2=3\)。

\(\vert\vec{n}_1\vert=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}\)，\(\vert\vec{n}_2\vert=\sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}}=\sqrt{6}\)。

所以\(\cos\theta=\frac{\vert3\vert}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\frac{1}{2}\)，则\(\theta=\frac{\pi}{3}\)，即两平面夹角为\(\frac{\pi}{3}\)。

例2：已知平面\(\pi_1:ax + y + z = 1\)与平面\(\pi_2:x - y + z = 1\)的夹角为\(\frac{\pi}{3}\)，求\(a\)的值。

平面\(\pi_1\)的法向量\(\vec{n}_1=(a,1,1)\)，平面\(\pi_2\)的法向量\(\vec{n}_2=(1,-1,1)\)。

由\(\cos\theta=\frac{\vert\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2\vert}{\vert\vec{n}_1\vert\vert\vec{n}_2\vert}\)，且\(\theta=\frac{\pi}{3}\)，所以\(\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}=\frac{\vert a\times1 + 1\times(-1)+1\times1\vert}{\sqrt{a^{2}+1^{2}+1^{2}}\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}}}\)。

化简得\(\frac{\vert a\vert}{\sqrt{a^{2}+2}\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\)，两边平方得\(\frac{a^{2}}{3(a^{2}+2)}=\frac{1}{4}\)。

进一步化简得\(4a^{2}=3a^{2}+6\)，解得\(a=\pm\sqrt{6}\)。

例3：判断平面\(2x - 3y + z = 0\)与平面\(4x - 6y + 2z + 1 = 0\)的关系。

平面\(2x - 3y + z = 0\)的法向量\(\vec{n}_1=(2,-3,1)\)，平面\(4x - 6y + 2z + 1 = 0\)的法向量\(\vec{n}_2=(4,-6,2)\)。

可以发现\(\vec{n}_2 = 2\vec{n}_1\)，并且\(\frac{0}{1}\neq\frac{1}{0}\)（这里是用两平面平行的判断条件\(\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\)来验证），所以两平面平行。

又因为它们的常数项不同，所以两平面不重合，即两平面是平行关系。

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