考研数学：曲线的凹凸性与拐点

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1. 曲线凹凸性的定义

设函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上连续，对于区间\(I\)上任意两点\(x_1\)、\(x_2\)：

如果恒有\(f(\frac{x_1 + x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)，那么称函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上的图形是凹的；

如果恒有\(f(\frac{x_1 + x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)，那么称函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上的图形是凸的。

2. 曲线凹凸性的判定定理（利用二阶导数）

设函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上二阶可导。

若在区间\(I\)内\(f^{\prime\prime}(x)>0\)，则函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上的图形是凹的。

若在区间\(I\)内\(f^{\prime\prime}(x)<0\)，则函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上的图形是凸的。

3. 求曲线凹凸区间的步骤

步骤一：确定函数\(y = f(x)\)的定义域。

步骤二：求出函数的二阶导数\(f^{\prime\prime}(x)\)。

步骤三：令\(f^{\prime\prime}(x)=0\)，解出这些方程在定义域内的根，以及二阶导数不存在的点，这些点将定义域分成若干个子区间。

步骤四：在每个子区间内确定二阶导数的符号，从而判断曲线在该区间的凹凸性。

4. 曲线的拐点

定义：连续曲线\(y = f(x)\)上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。

求法：如果\((x_0,f(x_0))\)是曲线\(y = f(x)\)的一个拐点，那么\(f^{\prime\prime}(x_0)=0\)或\(f^{\prime\prime}(x_0)\)不存在，且在\(x_0\)两侧\(f^{\prime\prime}(x)\)的符号不同。

5. 应用

函数图像的描绘：在描绘函数图像时，确定曲线的凹凸性和拐点可以使图像更加准确。

例如，对于函数\(y = x^3 - 3x^2 + 2\)，先求一阶导数\(y^{\prime}=3x^2 - 6x\)，二阶导数\(y^{\prime\prime}=6x - 6\)。

令\(y^{\prime\prime}=0\)，解得\(x = 1\)。

当\(x<1\)时，\(y^{\prime\prime}<0\)，曲线是凸的；

当\(x>1\)时，\(y^{\prime\prime}>0\)，曲线是凹的，点\((1,0)\)是曲线的一个拐点。

不等式的证明：

例如，证明当\(x>0,y>0,x\neq y\)时，\(x\ln x + y\ln y>(x + y)\ln\frac{x + y}{2}\)。

设\(f(t)=t\ln t\)，求二阶导数\(f^{\prime\prime}(t)=\frac{1}{t}>0\)（\(t>0\)），所以\(f(t)\)在\((0,+\infty)\)上是凹函数。

根据凹函数的定义，对于任意\(x>0,y>0,x\neq y\)，有\(f(\frac{x + y}{2})<\frac{f(x)+f(y)}{2}\)，即\((x + y)\ln\frac{x + y}{2}<x\ln x + y\ln y\)。

例0：设函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上二阶可导，且\(f^{\prime\prime}(x)\geqslant0\)，\(x_1,x_2,\cdots,x_n\in I\)，证明\(f(\frac{x_1 + x_2+\cdots+x_n}{n})\leqslant\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}\)。

当\(n = 2\)时，因为\(f^{\prime\prime}(x)\geqslant0\)，所以\(y = f(x)\)是凹函数，根据凹函数的定义有\(f(\frac{x_1 + x_2}{2})\leqslant\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}\)。

假设当\(n = k\)时不等式成立，即\(f(\frac{x_1 + x_2+\cdots+x_k}{k})\leqslant\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_k)}{k}\)。

当\(n = k + 1\)时，令\(A=\frac{x_1 + x_2+\cdots+x_{k+1}}{k + 1}\)，则\(f(\frac{(k + 1)A}{k})=f(A+\frac{A}{k})\)。

根据泰勒公式\(f(A+\frac{A}{k})=f(A)+f^{\prime}(A)\frac{A}{k}+\frac{f^{\prime\prime}(\xi)}{2!}(\frac{A}{k})^2\geqslant f(A)\)（因为\(f^{\prime\prime}(x)\geqslant0\)）。

又\(f(\frac{x_1 + x_2+\cdots+x_{k+1}}{k + 1})\leqslant\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_{k+1})}{k + 1}\)，所以不等式对任意\(n\)成立。

例1：求曲线\(y = x^{3}-3x^{2}+2\)的凹凸区间与拐点。

解：首先求一阶导数\(y^{\prime}=3x^{2}-6x\)，再求二阶导数\(y^{\prime\prime}=6x - 6\)。令\(y^{\prime\prime}=0\)，解得\(x = 1\)。当\(x\lt1\)时，\(y^{\prime\prime}\lt0\)，曲线是凸的；当\(x\gt1\)时，\(y^{\prime\prime}\gt0\)，曲线是凹的。所以曲线的拐点为\((1,0)\) 。

例2：讨论曲线\(y = x^{4}-2x^{3}+1\)的凹凸性并求拐点。

解：求一阶导数\(y^{\prime}=4x^{3}-6x^{2}\)，二阶导数\(y^{\prime\prime}=12x^{2}-12x=12x(x - 1)\)。令\(y^{\prime\prime}=0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 1\)。当\(x\in(-\infty,0)\)时，\(y^{\prime\prime}\gt0\)，曲线是凹的；当\(x\in(0,1)\)时，\(y^{\prime\prime}\lt0\)，曲线是凸的；当\(x\in(1,+\infty)\)时，\(y^{\prime\prime}\gt0\)，曲线是凹的。所以曲线的拐点为\((0,1)\)和\((1,0)\) 。

例3：设函数\(y = y(x)\)由参数方程\(\begin{cases}x=t-\frac{1}{t}\\y=1+t^{3}\end{cases}\)确定，求曲线\(y = y(x)\)的凹凸区间及拐点。

解：先求\(\frac{dy}{dx}=\frac{y_{t}^{\prime}}{x_{t}^{\prime}}=\frac{3t^{2}}{1+\frac{1}{t^{2}}}=3t^{3}\)，再求\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{(\frac{dy}{dx})_{t}^{\prime}}{x_{t}^{\prime}}=\frac{9t^{2}}{1+\frac{1}{t^{2}}}=9t^{4}\)。因为\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=9t^{4}\gt0\)（\(t\neq0\)），所以当\(t\neq0\)时，曲线是凹的，无拐点。

例4：求曲线\(y = \ln(1+x^{2})\)的凹凸区间与拐点。

解：首先求一阶导数\(y^{\prime}=\frac{2x}{1+x^{2}}\)，再求二阶导数\(y^{\prime\prime}=\frac{2(1 - x^{2})}{(1+x^{2})^{2}}\)。令\(y^{\prime\prime}=0\)，解得\(x=\pm1\)。当\(x\in(-\infty,-1)\)时，\(y^{\prime\prime}\lt0\)，曲线是凸的；当\(x\in(-1,1)\)时，\(y^{\prime\prime}\gt0\)，曲线是凹的；当\(x\in(1,+\infty)\)时，\(y^{\prime\prime}\lt0\)，曲线是凸的。所以曲线的拐点为\((-1,\ln2)\)和\((1,\ln2)\) 。

例5：已知函数\(f(x)=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}+2x + 1\)，求其曲线的凹凸区间和拐点。

解：求一阶导数\(f^{\prime}(x)=x^{2}-2x + 2\)，二阶导数\(f^{\prime\prime}(x)=2x - 2\)。令\(f^{\prime\prime}(x)=0\)，解得\(x = 1\)。当\(x\lt1\)时，\(f^{\prime\prime}(x)\lt0\)，曲线是凸的；当\(x\gt1\)时，\(f^{\prime\prime}(x)\gt0\)，曲线是凹的。所以曲线的拐点为\((1,\frac{7}{3})\) 。

例6：讨论曲线\(y = e^{-x^{2}}\)的凹凸性与拐点。

解：先求一阶导数\(y^{\prime}=-2xe^{-x^{2}}\)，再求二阶导数\(y^{\prime\prime}=2e^{-x^{2}}(2x^{2}-1)\)。令\(y^{\prime\prime}=0\)，解得\(x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)。当\(x\in(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2})\)时，\(y^{\prime\prime}\gt0\)，曲线是凹的；当\(x\in(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})\)时，\(y^{\prime\prime}\lt0\)，曲线是凸的；当\(x\in(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty)\)时，\(y^{\prime\prime}\gt0\)，曲线是凹的。所以曲线的拐点为\((\pm\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{\sqrt{e}})\) 。

例7：设函数\(f(x)=\sin x - x\cos x\)，求曲线\(y = f(x)\)在区间\((0,2\pi)\)内的凹凸区间与拐点。

解：求一阶导数\(f^{\prime}(x)=x\sin x\)，二阶导数\(f^{\prime\prime}(x)=\sin x+x\cos x\)。令\(f^{\prime\prime}(x)=0\)，即\(\sin x+x\cos x=0\)，在\((0,2\pi)\)内，解得\(x=\pi\)。当\(x\in(0,\pi)\)时，\(f^{\prime\prime}(x)\gt0\)，曲线是凹的；当\(x\in(\pi,2\pi)\)时，\(f^{\prime\prime}(x)\lt0\)，曲线是凸的。所以曲线的拐点为\((\pi,\pi)\) 。

例8：求曲线\(y=(x - 5)\sqrt[3]{x^{2}}\)的拐点坐标.

解：先将函数变形为\(y=(x - 5)x^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{5}{3}}-5x^{\frac{2}{3}}\)，求一阶导数\(y^{\prime}=\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}-\frac{10}{3}x^{-\frac{1}{3}}\)，二阶导数\(y^{\prime\prime}=\frac{10}{9}x^{-\frac{1}{3}}+\frac{10}{9}x^{-\frac{4}{3}}=\frac{10}{9}x^{-\frac{4}{3}}(x + 1)\)。令\(y^{\prime\prime}=0\)，解得\(x=-1\)。当\(x\lt-1\)时，\(y^{\prime\prime}\lt0\)，曲线是凸的；当\(x\gt-1\)且\(x\neq0\)时，\(y^{\prime\prime}\gt0\)，曲线是凹的。所以曲线的拐点为\((-1,-6)\) 。