考研数学：求导例题

1. 简单函数求导

例题1：求\(y = 3x^{2}+2x - 1\)的导数。

根据加法法则和幂函数求导公式\((x^{n})^\prime = nx^{n - 1}\)，\(y^\prime=(3x^{2})^\prime+(2x)^\prime-(1)^\prime\)。

计算得\(y^\prime = 3\times2x+2\times1 - 0 = 6x + 2\)。

例题2：求\(y=\frac{1}{x^{3}}\)的导数。

先将函数变形为\(y = x^{-3}\)，根据幂函数求导公式，\(y^\prime=-3x^{-4}=-\frac{3}{x^{4}}\)。

例题3：求\(y = \sqrt{x}+x^{\frac{2}{3}}\)的导数。

对于\(y=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)，其导数为\(y^\prime=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\)；对于\(y = x^{\frac{2}{3}}\)，其导数为\(y^\prime=\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\)。

所以\(y^\prime=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}\)。

例题4：求\(y = 5\)的导数。

因为常数的导数为\(0\)，所以\(y^\prime = 0\)。

例题5：求\(y = 2^{x}\)的导数。

根据指数函数求导公式\(y^\prime=a^{x}\ln a\)，这里\(a = 2\)，所以\(y^\prime = 2^{x}\ln 2\)。

2. 乘积法则求导

例题6：求\(y=(x^{2}+1)(x - 1)\)的导数。

设\(u = x^{2}+1\)，\(v = x - 1\)，根据乘积法则\(y^\prime=u^\prime v+uv^\prime\)。

其中\(u^\prime = 2x\)，\(v^\prime = 1\)，则\(y^\prime=(2x)(x - 1)+(x^{2}+1)\times1 = 2x^{2}-2x+x^{2}+1 = 3x^{2}-2x + 1\)。

例题7：求\(y=x\sin x\)的导数。

设\(u = x\)，\(v=\sin x\)，\(u^\prime = 1\)，\(v^\prime=\cos x\)。

根据乘积法则，\(y^\prime=u^\prime v+uv^\prime = 1\times\sin x+x\times\cos x=\sin x+x\cos x\)。

例题8：求\(y=(2x + 3)\ln x\)的导数。

设\(u = 2x + 3\)，\(v=\ln x\)，\(u^\prime = 2\)，\(v^\prime=\frac{1}{x}\)。

由乘积法则可得\(y^\prime=u^\prime v+uv^\prime = 2\ln x+(2x + 3)\times\frac{1}{x}=2\ln x+\frac{2x + 3}{x}\)。

例题9：求\(y = e^{x}\cos x\)的导数。

设\(u = e^{x}\)，\(v=\cos x\)，\(u^\prime = e^{x}\)，\(v^\prime=-\sin x\)。

根据乘积法则，\(y^\prime=u^\prime v+uv^\prime = e^{x}\cos x - e^{x}\sin x=e^{x}(\cos x - \sin x)\)。

例题10：求\(y=(x^{3}-x)\tan x\)的导数。

设\(u = x^{3}-x\)，\(v=\tan x\)，\(u^\prime = 3x^{2}-1\)，\(v^\prime=\sec^{2}x\)。

由乘积法则得\(y^\prime=u^\prime v+uv^\prime=(3x^{2}-1)\tan x+(x^{3}-x)\sec^{2}x\)。

3. 商法则求导

例题11：求\(y=\frac{x^{2}+1}{x - 1}\)的导数。

设\(u = x^{2}+1\)，\(v = x - 1\)，根据商法则\(y^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}\)。

其中\(u^\prime = 2x\)，\(v^\prime = 1\)，则\(y^\prime=\frac{(2x)(x - 1)-(x^{2}+1)\times1}{(x - 1)^{2}}=\frac{2x^{2}-2x - x^{2}-1}{(x - 1)^{2}}=\frac{x^{2}-2x - 1}{(x - 1)^{2}}\)。

例题12：求\(y=\frac{\sin x}{x}\)的导数。

设\(u=\sin x\)，\(v = x\)，\(u^\prime=\cos x\)，\(v^\prime = 1\)。

根据商法则，\(y^\prime=\frac{\cos x\times x-\sin x\times1}{x^{2}}=\frac{x\cos x - \sin x}{x^{2}}\)。

例题13：求\(y=\frac{\ln x}{x^{2}}\)的导数。

设\(u=\ln x\)，\(v = x^{2}\)，\(u^\prime=\frac{1}{x}\)，\(v^\prime = 2x\)。

由商法则可得\(y^\prime=\frac{\frac{1}{x}\times x^{2}-\ln x\times2x}{x^{4}}=\frac{1 - 2\ln x}{x^{3}}\)。

例题14：求\(y=\frac{e^{x}}{x + 1}\)的导数。

设\(u = e^{x}\)，\(v = x + 1\)，\(u^\prime = e^{x}\)，\(v^\prime = 1\)。

根据商法则，\(y^\prime=\frac{e^{x}(x + 1)-e^{x}\times1}{(x + 1)^{2}}=\frac{e^{x}x}{(x + 1)^{2}}\)。

例题15：求\(y=\frac{\tan x}{\sec x}\)的导数。

先将函数化简为\(y=\sin x\)，其导数为\(y^\prime=\cos x\)。或者用商法则，设\(u=\tan x\)，\(v=\sec x\)，\(u^\prime=\sec^{2}x\)，\(v^\prime=\sec x\tan x\)，则\(y^\prime=\frac{\sec^{2}x\sec x-\tan x\sec x\tan x}{\sec^{2}x}=\cos x\)。

4. 复合函数求导

例题16：求\(y=(x^{2}+1)^{3}\)的导数。

令\(u = x^{2}+1\)，则\(y = u^{3}\)。

根据复合函数求导法则\(y^\prime=y^\prime_{u}\times u^\prime_{x}\)，\(y^\prime_{u}=3u^{2}\)，\(u^\prime_{x}=2x\)。

所以\(y^\prime = 3(x^{2}+1)^{2}\times2x = 6x(x^{2}+1)^{2}\)。

例题17：求\(y=\sin(3x + 2)\)的导数。

令\(u = 3x + 2\)，则\(y=\sin u\)。

\(y^\prime_{u}=\cos u\)，\(u^\prime_{x}=3\)，所以\(y^\prime=\cos(3x + 2)\times3 = 3\cos(3x + 2)\)。

例题18：求\(y=\ln(x^{2}-1)\)的导数。

令\(u = x^{2}-1\)，则\(y=\ln u\)。

\(y^\prime_{u}=\frac{1}{u}\)，\(u^\prime_{x}=2x\)，所以\(y^\prime=\frac{2x}{x^{2}-1}\)。

例题19：求\(y=e^{\sin x}\)的导数。

令\(u=\sin x\)，则\(y = e^{u}\)。

\(y^\prime_{u}=e^{u}\)，\(u^\prime_{x}=\cos x\)，所以\(y^\prime=e^{\sin x}\cos x\)。

例题20：求\(y=\sqrt{2x - 1}\)的导数。

令\(u = 2x - 1\)，则\(y = u^{\frac{1}{2}}\)。

\(y^\prime_{u}=\frac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}\)，\(u^\prime_{x}=2\)，所以\(y^\prime=\frac{1}{\sqrt{2x - 1}}\)。

5. 隐函数求导

例题21：已知\(x^{2}+y^{2}=1\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

对\(x^{2}+y^{2}=1\)两边关于\(x\)求导，得到\(2x + 2y\frac{dy}{dx}=0\)。

解出\(\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}\)（\(y\neq0\)）。

例题22：已知\(e^{x + y}-xy = 0\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

对\(e^{x + y}-xy = 0\)两边关于\(x\)求导，\((e^{x + y})(1+\frac{dy}{dx})-(y + x\frac{dy}{dx}) = 0\)。

展开得\(e^{x + y}+e^{x + y}\frac{dy}{dx}-y - x\frac{dy}{dx}=0\)。

移项得\((e^{x + y}-x)\frac{dy}{dx}=y - e^{x + y}\)，所以\(\frac{dy}{dx}=\frac{y - e^{x + y}}{e^{x + y}-x}\)。

例题23：已知\(x^{3}+y^{3}-3xy = 0\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

对\(x^{3}+y^{3}-3xy = 0\)两边关于\(x\)求导，\(3x^{2}+3y^{2}\frac{dy}{dx}-3y - 3x\frac{dy}{dx}=0\)。

整理得\((3y^{2}-3x)\frac{dy}{dx}=3y - 3x^{2}\)，所以\(\frac{dy}{dx}=\frac{y - x^{2}}{y^{2}-x}\)。

例题24：已知\(\sin(xy)=x\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

对\(\sin(xy)=x\)两边关于\(x\)求导，\(\cos(xy)(y + x\frac{dy}{dx}) = 1\)。

展开得\(y\cos(xy)+x\cos(xy)\frac{dy}{dx}=1\)。

移项得\(x\cos(xy)\frac{dy}{dx}=1 - y\cos(xy)\)，所以\(\frac{dy}{dx}=\frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy)}\)。

例题25：已知\(y\ln x + x\ln y = 0\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

对\(y\ln x + x\ln y = 0\)两边关于\(x\)求导，\(\frac{y}{x}+\ln x\frac{dy}{dx}+\ln y + \frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=0\)。

移项得\((\ln x+\frac{x}{y})\frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}-\ln y\)，所以\(\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{y}{x}+\ln y}{\ln x+\frac{x}{y}}\)。

6. 反函数求导

例题26：设\(y = \arcsin x\)，求\(y^\prime\)。

因为\(y = \arcsin x\)的反函数是\(x=\sin y\)，\((\sin y)^\prime=\cos y\)。

根据反函数求导法则\(y^\prime=\frac{1}{\cos y}\)，又因为\(\sin y = x\)，\(\cos y=\sqrt{1 - x^{2}}\)，所以\(y^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)。

例题27：设\(y=\arccos x\)，求\(y^\prime\)。

因为\(y=\arccos x\)的反函数是\(x = \cos y\)，\((\cos y)^\prime=-\sin y\)。

根据反函数求导法则\(y^\prime=-\frac{1}{\sin y}\)，又因为\(\cos y = x\)，\(\sin y=\sqrt{1 - x^{2}}\)，所以\(y^\prime=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)。

例题28：设\(y=\arctan x\)，求\(y^\prime\)。

因为\(y=\arctan x\)的反函数是\(x=\tan y\)，\((\tan y)^\prime=\sec^{2}y\)。

根据反函数求导法则\(y^\prime=\frac{1}{\sec^{2}y}\)，又因为\(\tan y = x\)，\(\sec^{2}y = 1 + x^{2}\)，所以\(y^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}\)。

例题29：设\(y=\text{arccot}x\)，求\(y^\prime\)。

因为\(y=\text{arccot}x\)的反函数是\(x=\cot y\)，\((\cot y)^\prime=-\csc^{2}y\)。

根据反函数求导法则\(y^\prime=-\frac{1}{\csc^{2}y}\)，又因为\(\cot y = x\)，\(\csc^{2}y = 1+\frac{1}{x^{2}}\)，所以\(y^\prime=-\frac{1}{1 + x^{2}}\)。

例题30：设\(y=\text{arcsec}x\)，求\(y^\prime\)。

因为\(y=\text{arcsec}x\)的反函数是\(x=\sec y\)，\((\sec y)^\prime=\sec y\tan y\)。

根据反函数求导法则\(y^\prime=\frac{1}{\sec y\tan y}\)，又因为\(\sec y = x\)，\(\tan y=\sqrt{x^{2}-1}\)，所以\(y^\prime=\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}\)。

7. 参数方程求导

例题31：已知\(\begin{cases}x = t^{2}\\y = 2t\end{cases}\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

首先求\(x\)对\(t\)的导数\(x^\prime = \frac{dx}{dt} = 2t\)，\(y\)对\(t\)的导数\(y^\prime=\frac{dy}{dt} = 2\)。

根据参数方程求导法则\(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\)，所以\(\frac{dy}{dx}=\frac{2}{2t}=\frac{1}{t}\)（\(t\neq0\)）。

例题32：已知\(\begin{cases}x = \cos t\\y = \sin t\end{cases}\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

对\(x\)关于\(t\)求导，\(x^\prime=\frac{dx}{dt}=-\sin t\)，对\(y\)关于\(t\)求导，\(y^\prime=\frac{dy}{dt}=\cos t\)。

由参数方程求导法则可得\(\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{-\sin t}=-\cot t\)。

例题33：已知\(\begin{cases}x = e^{t}\cos t\\y = e^{t}\sin t\end{cases}\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

先求\(x\)对\(t\)的导数：

\(x^\prime=(e^{t}\cos t)^\prime = e^{t}\cos t - e^{t}\sin t\)（根据乘积法则以及\((\cos t)^\prime = -\sin t\)，\((\sin t)^\prime=\cos t\)）。

再求\(y\)对\(t\)的导数：

\(y^\prime=(e^{t}\sin t)^\prime = e^{t}\sin t + e^{t}\cos t\)。

那么\(\frac{dy}{dx}=\frac{e^{t}\sin t + e^{t}\cos t}{e^{t}\cos t - e^{t}\sin t}=\frac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}\)。

例题34：已知\(\begin{cases}x = 3t^{2}+1\\y = t^{3}-t\end{cases}\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

\(x^\prime=\frac{dx}{dt}=6t\)，\(y^\prime=\frac{dy}{dt}=3t^{2}-1\)。

根据参数方程求导法则\(\frac{dy}{dx}=\frac{3t^{2}-1}{6t}\)。

例题35：已知\(\begin{cases}x = \ln(1 + t^{2})\\y = t - \arctan t\end{cases}\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

\(x^\prime=\frac{dx}{dt}=\frac{2t}{1 + t^{2}}\)，\(y^\prime=\frac{dy}{dt}=1-\frac{1}{1 + t^{2}}=\frac{t^{2}}{1 + t^{2}}\)。

所以\(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{t^{2}}{1 + t^{2}}}{\frac{2t}{1 + t^{2}}}=\frac{t}{2}\)（\(t\neq0\)）。

8. 综合运用求导例题

例题36：求\(y = \sin^{2}(x^{2})\)的导数。

令\(u = x^{2}\)，则\(y=\sin^{2}u\)，先对\(y\)关于\(u\)求导，令\(v=\sin u\)，则\(y = v^{2}\)，\(y^\prime_{v}=2v\)，\(v^\prime_{u}=\cos u\)，所以\(y^\prime_{u}=2\sin u\cos u\)。

又\(u^\prime_{x}=2x\)，根据复合函数求导法则，\(y^\prime = 2\sin(x^{2})\cos(x^{2})\times2x = 2x\sin(2x^{2})\)。

例题37：求\(y=\frac{e^{\sin x}}{\sqrt{x^{2}+1}}\)的导数。

这里用到商法则和复合函数求导法则，设\(u = e^{\sin x}\)，\(v=\sqrt{x^{2}+1}=(x^{2}+1)^{\frac{1}{2}}\)。

先求\(u^\prime\)，令\(t=\sin x\)，\(u^\prime = e^{\sin x}\cos x\)（复合函数求导）。

再求\(v^\prime\)，令\(m = x^{2}+1\)，\(v^\prime=\frac{1}{2}(x^{2}+1)^{-\frac{1}{2}}\times2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\)。

根据商法则\(y^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}\)，则\(y^\prime=\frac{e^{\sin x}\cos x\cdot\sqrt{x^{2}+1}-e^{\sin x}\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{x^{2}+1}\)，化简后得\(y^\prime=\frac{e^{\sin x}(\cos x\cdot(x^{2}+1)-x)}{(x^{2}+1)^{\frac{3}{2}}}\)。

例题38：已知\(y\)是由方程\(x^{2}+y^{2}-xy = 1\)确定的隐函数，求\(y^\prime\)，并求在点\((1,1)\)处的导数。

对\(x^{2}+y^{2}-xy = 1\)两边关于\(x\)求导：

\(2x + 2y\cdot y^\prime - (y + x\cdot y^\prime)=0\)。

整理得\((2y - x)y^\prime = y - 2x\)，所以\(y^\prime=\frac{y - 2x}{2y - x}\)。

把\(x = 1\)，\(y = 1\)代入\(y^\prime\)可得：\(y^\prime\mid_{(1,1)}=\frac{1 - 2}{2 - 1}=-1\)。

例题39：已知\(\begin{cases}x = \sin t\\y = \cos 2t\end{cases}\)，求\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\)。

先求\(\frac{dy}{dx}\)：

\(x^\prime=\frac{dx}{dt}=\cos t\)，\(y^\prime=\frac{dy}{dt}=-2\sin 2t\)，根据参数方程求导法则\(\frac{dy}{dx}=\frac{-2\sin 2t}{\cos t}\)，利用二倍角公式\(\sin 2t = 2\sin t\cos t\)，则\(\frac{dy}{dx}=\frac{-4\sin t\cos t}{\cos t}=-4\sin t\)。

再求\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\)，它等于\(\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})\)，把\(\frac{dy}{dx}=-4\sin t\)看作是关于\(t\)的函数，而\(t\)又是关于\(x\)的函数（\(x = \sin t\)即\(t=\arcsin x\)），根据复合函数求导以及反函数求导法则：

\(\frac{d}{dt}(-4\sin t)=-4\cos t\)，又\(\frac{dt}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=\frac{1}{\cos t}\)，所以\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{-4\cos t}{\cos t}=-4\)。

例题40：设\(y = \arctan\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)\)，求\(y^\prime\)。

令\(u=\frac{1 + x}{1 - x}\)，则\(y=\arctan u\)。

先求\(u^\prime\)，根据商法则\(u^\prime=\frac{(1 + x)^\prime(1 - x)-(1 + x)(1 - x)^\prime}{(1 - x)^{2}}=\frac{1\times(1 - x)-(1 + x)\times(-1)}{(1 - x)^{2}}=\frac{2}{(1 - x)^{2}}\)。

\(y^\prime_{u}=\frac{1}{1 + u^{2}}\)，所以\(y^\prime=\frac{1}{1 + u^{2}}\cdot u^\prime=\frac{1}{1 + (\frac{1 + x}{1 - x})^{2}}\cdot\frac{2}{(1 - x)^{2}}\)，化简后可得\(y^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}\)。

9. 高阶导数例题

例题41：已知\(y = x^{3}\)，求\(y^{\prime\prime}\)和\(y^{\prime\prime\prime}\)。

先求\(y^\prime\)，根据幂函数求导公式\(y^\prime = 3x^{2}\)。

再求\(y^{\prime\prime}\)，对\(y^\prime\)求导，\(y^{\prime\prime}=(3x^{2})^\prime = 6x\)。

接着求\(y^{\prime\prime\prime}\)，对\(y^{\prime\prime}\)求导，\(y^{\prime\prime\prime}=(6x)^\prime = 6\)。

例题42：已知\(y = \sin x\)，求\(y^{(4)}\)（四阶导数）。

\(y^\prime=\cos x\)，\(y^{\prime\prime}=-\sin x\)，\(y^{\prime\prime\prime}=-\cos x\)，\(y^{(4)}=\sin x\)。

例题43：已知\(y = e^{x}\)，求\(y^{(n)}\)（\(n\)阶导数）。

因为\(y^\prime = e^{x}\)，\(y^{\prime\prime}=e^{x}\)，\(\cdots\)，每次求导结果都是\(e^{x}\)，所以\(y^{(n)}=e^{x}\)。

例题44：已知\(y = \ln x\)，求\(y^{(n)}\)（\(n\)阶导数）。

\(y^\prime=\frac{1}{x}\)，\(y^{\prime\prime}=-\frac{1}{x^{2}}\)，\(y^{\prime\prime\prime}=\frac{2}{x^{3}}\)，通过归纳可得\(y^{(n)}=(-1)^{n - 1}\frac{(n - 1)!}{x^{n}}\)。

例题45：已知\(y = x^{2}e^{x}\)，求\(y^{(n)}\)（\(n\)阶导数）。

利用莱布尼茨公式\((uv)^{(n)}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n - k)}v^{(k)}\)，这里\(u = x^{2}\)，\(v = e^{x}\)。

\(u^\prime = 2x\)，\(u^{\prime\prime}=2\)，\(u^{(k)} = 0\)（\(k\geq3\)），\(v^{(k)} = e^{x}\)（\(k\geq0\)）。

则\(y^{(n)}=C_{n}^{0}x^{2}e^{x}+C_{n}^{1}(2x)e^{x}+C_{n}^{2}(2)e^{x}=x^{2}e^{x}+2nx e^{x}+n(n - 1)e^{x}\)。

10. 导数在实际问题中的应用例题（比如相关变化率、切线与法线问题）

例题46（相关变化率问题）：有一个球形气球正在充气，其半径\(r\)以\(2\)厘米/秒的速度增加，当半径\(r = 5\)厘米时，求气球体积\(V\)增加的速度。

已知球的体积公式\(V=\frac{4}{3}\pi r^{3}\)。

对\(V\)关于时间\(t\)求导，根据复合函数求导法则，\(\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dr}\cdot\frac{dr}{dt}\)。

\(\frac{dV}{dr}=4\pi r^{2}\)，已知\(\frac{dr}{dt}=2\)（厘米/秒），当\(r = 5\)厘米时，\(\frac{dV}{dt}=4\pi\times5^{2}\times2 = 200\pi\)（立方厘米/秒），即气球体积增加的速度是\(200\pi\)立方厘米/秒。