1. 定积分的概念

设函数\(y = f(x)\)在区间\([a,b]\)上有界；

在区间\([a,b]\)中任意插入\(n - 1\)个分点\(a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b\)；

把区间\([a,b]\)分成\(n\)个小区间\([x_{i - 1},x_{i}]\)，\(i = 1,2,\cdots,n\)，小区间的长度为\(\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i - 1}\)。

在每个小区间\([x_{i-1},x_{i}]\)上任取一点\(\xi_{i}\)，作和式\(\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\)。

当\(n\to\infty\)且\(\lambda=\max\{\Delta x_{1},\Delta x_{2},\cdots,\Delta x_{n}\}\to0\)时，如果和式的极限\(\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\)存在，则称函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上可积，并称这个极限为函数\(f(x)\)在区间\([a,b]\)上的定积分，记作\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)，即

\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim\limits_{\lambda\to0}\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x_{i}\)

2. 定积分的几何意义：

当\(f(x)\geq0\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示由曲线\(y = f(x)\)，直线\(x = a\)，\(x = b\)以及\(x\)轴所围成的曲边梯形的面积。

当\(f(x)\leq0\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示上述曲边梯形面积的负值。

当\(f(x)\)在\([a,b]\)上有正有负时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)表示在\(x\)轴上方部分的面积减去\(x\)轴下方部分的面积。

3. 定积分的性质

性质1（线性性质）

\(\int_{a}^{b}[k_{1}f(x)+k_{2}g(x)]dx = k_{1}\int_{a}^{b}f(x)dx + k_{2}\int_{a}^{b}g(x)dx\)，其中\(k_{1},k_{2}\)为常数。

例如，\(\int_{0}^{1}(2x + 3x^{2})dx=2\int_{0}^{1}xdx+3\int_{0}^{1}x^{2}dx\)。

计算\(\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}x^{2}\big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}\)，\(\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}x^{3}\big|_{0}^{1}=\frac{1}{3}\)

所以\(\int_{0}^{1}(2x + 3x^{2})dx=2\times\frac{1}{2}+3\times\frac{1}{3}=2\)。

性质2（区间可加性）

\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)，其中\(a < c < b\)。

例如，已知\(\int_{0}^{2}f(x)dx = 5\)，\(\int_{0}^{1}f(x)dx = 2\)，则\(\int_{1}^{2}f(x)dx=\int_{0}^{2}f(x)dx-\int_{0}^{1}f(x)dx = 5 - 2 = 3\)。

性质3（积分的比较性质）

如果在区间\([a,b]\)上\(f(x)\geq g(x)\)，那么\(\int_{a}^{b}f(x)dx\geq\int_{a}^{b}g(x)dx\)。

例如，在区间\([0,1]\)上，因为\(x^{2}\geq x^{3}\)，所以\(\int_{0}^{1}x^{2}dx\geq\int_{0}^{1}x^{3}dx\)。计算可得\(\int_{0}^{1}x^{2}dx=\frac{1}{3}\)，\(\int_{0}^{1}x^{3}dx=\frac{1}{4}\)，确实满足\(\frac{1}{3}\geq\frac{1}{4}\)。

性质4（积分的绝对值性质）

\(\left|\int_{a}^{b}f(x)dx\right|\leq\int_{a}^{b}\left|f(x)\right|dx\)。

例如，对于函数\(f(x)=\sin x\)在区间\([0,2\pi]\)上，\(\int_{0}^{2\pi}\sin xdx = 0\)，而\(\int_{0}^{2\pi}|\sin x|dx = 4\)（因为\(|\sin x|\)在\([0,2\pi]\)上的图象关于\(x\)轴上下对称，把\(x\)轴下方部分翻折上去，其面积为\(4\)个\(\int_{0}^{\pi/2}\sin xdx\)的值），满足\(\left|\int_{0}^{2\pi}\sin xdx\right|\leq\int_{0}^{2\pi}|\sin x|dx\)。

性质5（积分中值定理）

如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a,b]\)上连续，则在\([a,b]\)上至少存在一点\(\xi\)，使得\(\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b - a)\)。

例如，对于函数\(f(x)=x^{2}\)在区间\([0,2]\)上，\(\int_{0}^{2}x^{2}dx=\frac{8}{3}\)，根据积分中值定理，\(\frac{8}{3}=f(\xi)(2 - 0)=2\xi^{2}\)，解得\(\xi=\pm\frac{2\sqrt{3}}{3}\)，其中\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\in[0,2]\)，符合定理。

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