考研数学：高阶导数

1. 高阶导数的定义

函数\(y = f(x)\)的导数\(y^\prime=f^\prime(x)\)仍然是\(x\)的函数。如果\(y^\prime=f^\prime(x)\)的导数存在，这个导数就称为原来函数\(y = f(x)\)的二阶导数，记作\(y^{\prime\prime}\)或\(f^{\prime\prime}(x)\)或\(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\)。

例如，对于函数\(y = x^{3}\)，其一阶导数\(y^\prime = 3x^{2}\)，二阶导数\(y^{\prime\prime}=(3x^{2})^\prime = 6x\)。

类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，记作\(y^{\prime\prime\prime}\)或\(f^{\prime\prime\prime}(x)\)或\(\frac{d^{3}y}{dx^{3}}\)，以此类推，\(n\)阶导数记作\(y^{(n)}\)或\(f^{(n)}(x)\)或\(\frac{d^{n}y}{dx^{n}}\)。

2. 高阶导数的计算方法

直接法：通过逐次求导来计算高阶导数。

例如，求\(y = \sin x\)的\(n\)阶导数。

一阶导数\(y^\prime=\cos x=\sin(x +\frac{\pi}{2})\)。

二阶导数\(y^{\prime\prime}=-\sin x=\sin(x + 2\cdot\frac{\pi}{2})\)。

三阶导数\(y^{\prime\prime\prime}=-\cos x=\sin(x + 3\cdot\frac{\pi}{2})\)。

通过归纳可得\(y^{(n)}=\sin(x + n\cdot\frac{\pi}{2})\)。

公式法：利用已知的高阶导数公式。

例如，\((x^{n})^{(m)}=\frac{n!}{(n - m)!}x^{n - m}\)（\(m\leq n\)），当\(m>n\)时，\((x^{n})^{(m)} = 0\)。

对于\(y = x^{5}\)，求其四阶导数\(y^{(4)}\)，根据公式\(y^{(4)}=\frac{5!}{(5 - 4)!}x^{5 - 4}=5\times4\times3\times2x = 120x\)。

莱布尼茨公式：对于两个函数\(u(x)\)和\(v(x)\)的乘积\(y = u(x)v(x)\)的\(n\)阶导数，有\((uv)^{(n)}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n - k)}v^{(k)}\)，其中\(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)。

例如，设\(y = x^{2}e^{x}\)，求\(y^{(n)}\)。

令\(u = x^{2}\)，\(v = e^{x}\)。

\(u^\prime = 2x\)，\(u^{\prime\prime}=2\)，\(u^{(k)} = 0\)（\(k\geq3\)），\(v^{(k)} = e^{x}\)（\(k\geq0\)）。

则\(y^{(n)}=C_{n}^{0}x^{2}e^{x}+C_{n}^{1}(2x)e^{x}+C_{n}^{2}(2)e^{x}=x^{2}e^{x}+2nx e^{x}+n(n - 1)e^{x}\)。

3. 高阶导数的运算法则

加法法则

若\(u(x)\)和\(v(x)\)都具有\(n\)阶导数，则\((u(x)+v(x))^{(n)} = u^{(n)}(x)+v^{(n)}(x)\)。

例如，已知\(u(x)=x^{3}\)，\(v(x)=2x^{2}\)。

先求\(u(x)\)的高阶导数，\(u^\prime(x)=3x^{2}\)，\(u^{\prime\prime}(x)=6x\)，\(u^{\prime\prime\prime}(x)=6\)，\(u^{(n)}(x) = 0\)（\(n\gt3\)）。

再求\(v(x)\)的高阶导数，\(v^\prime(x)=4x\)，\(v^{\prime\prime}(x)=4\)，\(v^{(n)}(x)=0\)（\(n\gt2\)）。

对于\(y = u(x)+v(x)=x^{3}+2x^{2}\)，\(y^{\prime\prime\prime}=(u(x)+v(x))^{\prime\prime\prime}=u^{\prime\prime\prime}(x)+v^{\prime\prime\prime}(x)=6 + 0 = 6\)。

乘法法则（莱布尼茨公式）

设\(u(x)\)和\(v(x)\)是两个函数，它们都\(n\)次可导，则\((uv)^{(n)}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n - k)}v^{(k)}\)，其中\(C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)。

例如，设\(u(x)=x^{2}\)，\(v(x)=e^{x}\)，求\((uv)^{(n)}\)。

首先求\(u(x)\)的各阶导数：\(u^\prime(x)=2x\)，\(u^{\prime\prime}(x)=2\)，\(u^{(k)}(x)=0\)（\(k\geq3\)）。

而\(v^{(k)}(x)=e^{x}\)（\(k = 0,1,2,\cdots\)）。

根据莱布尼茨公式\((uv)^{(n)}=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^{k}u^{(n - k)}v^{(k)}\)，可得：

\(C_{n}^{0}u^{(n)}v^{(0)} + C_{n}^{1}u^{(n - 1)}v^{(1)}+\cdots+C_{n}^{n}u^{(0)}v^{(n)}\)

\(=x^{2}e^{x}+n\times(2x)e^{x}+\frac{n(n - 1)}{2}\times2e^{x}=x^{2}e^{x}+2nx e^{x}+n(n - 1)e^{x}\)。

复合函数高阶导数法则

设\(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，且\(y\)对\(u\)，\(u\)对\(x\)都有足够阶数的导数。

一阶导数：\(y^\prime=f^\prime(u)g^\prime(x)\)。

二阶导数：\(y^{\prime\prime}=f^{\prime\prime}(u)(g^\prime(x))^{2}+f^\prime(u)g^{\prime\prime}(x)\)。

例如，设\(y = \sin(u)\)，\(u = x^{2}\)。

一阶导数：\(y^\prime=\cos(u)\times2x = 2x\cos(x^{2})\)。

二阶导数：\(y^{\prime\prime}=-\sin(u)\times(2x)^{2}+\cos(u)\times2\)

\(=- 4x^{2}\sin(x^{2})+2\cos(x^{2})\)。

商的高阶导数法则

若\(y=\frac{u(x)}{v(x)}\)（\(v(x)\neq0\)），求高阶导数可以通过将其看作\(u(x)\cdot(v(x))^{-1}\)，然后利用乘法法则（莱布尼茨公式）和复合函数求导法则来计算。

一阶导数：\(y^\prime=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^{2}(x)}\)。

二阶导数：\(y^{\prime\prime}=\frac{(u^{\prime\prime}(x)v(x)-u(x)v^{\prime\prime}(x))v^{2}(x)-2v(x)v^\prime(x)(u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x))}{v^{4}(x)}\)。

例如，设\(y=\frac{x}{x + 1}\)，\(u(x)=x\)，\(v(x)=x + 1\)。

一阶导数：\(y^\prime=\frac{1\times(x + 1)-x\times1}{(x + 1)^{2}}=\frac{1}{(x + 1)^{2}}\)。

二阶导数：

\(y^{\prime\prime}=\frac{(0\times(x + 1)-x\times0)(x + 1)^{2}-2(x + 1)\times1\times\frac{1}{(x + 1)^{2}}}{(x + 1)^{4}}\)

\(=\frac{- 2}{(x + 1)^{3}}\)。

4. 高阶导数的应用场景

物理中的加速度问题：在物理中，如果位移函数为\(s(t)\)，速度函数\(v(t)=s^\prime(t)\)，加速度函数\(a(t)=s^{\prime\prime}(t)\)。

例如，已知位移函数\(s(t)=t^{3}-2t^{2}+t\)，则速度\(v(t)=3t^{2}-4t + 1\)，加速度\(a(t)=6t - 4\)。加速度描述了速度变化的快慢，在研究物体的运动状态变化等问题中有重要作用。

函数的近似计算和泰勒展开：泰勒公式\(f(x)=\sum_{k = 0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x - a)^{k}+R_{n}(x)\)，其中\(f^{(k)}(a)\)是\(f(x)\)在\(a\)点的\(k\)阶导数。通过高阶导数可以更精确地对函数进行近似，在数值分析等领域有广泛应用。例如，\(e^{x}\)在\(x = 0\)附近的泰勒展开式为\(e^{x}=1 + x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\cdots\)，这里的系数就是\(e^{x}\)在\(0\)点的各阶导数除以相应阶乘。