1. 双曲正弦函数的定义

双曲正弦函数记作\(sinh(x)\)，它的定义式为\(sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)，其中\(e\)是自然常数（约为\(2.71828\)）。例如，当\(x = 1\)时，\(sinh(1)=\frac{e^{1}-e^{-1}}{2}=\frac{e - \frac{1}{e}}{2}\)。

2. 双曲正弦函数的性质

奇偶性：双曲正弦函数是奇函数，即\(sinh(-x)=-sinh(x)\)。证明如下：\(sinh(-x)=\frac{e^{-x}-e^{-(-x)}}{2}=\frac{e^{-x}-e^{x}}{2}=-\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=-sinh(x)\)。

单调性：双曲正弦函数在\((-\infty,+\infty)\)上是单调递增的。对\(sinh(x)\)求导，\((sinh(x))^\prime=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)，因为\(e^{x}\gt0\)，\(e^{-x}\gt0\)，所以\((sinh(x))^\prime\gt0\)恒成立，这表明函数在整个定义域内单调递增。

值域：双曲正弦函数的值域是\((-\infty,+\infty)\)。当\(x\to-\infty\)时，\(e^{x}\to0\)，\(e^{-x}\to+\infty\)，所以\(sinh(x)\to-\infty\)；当\(x\to+\infty\)时，\(e^{x}\to+\infty\)，\(e^{-x}\to0\)，所以\(sinh(x)\to+\infty\)。

3. 双曲正弦函数的图像

双曲正弦函数的图像是关于原点对称的，形状类似于一个悬链线。它经过原点\((0,0)\)，在\(x\)轴正半轴，函数值随着\(x\)的增大而迅速增大；在\(x\)轴负半轴，函数值随着\(x\)的减小而迅速减小。

4. 与其他函数的关系

双曲正弦函数与指数函数密切相关，它是由指数函数\(e^{x}\)和\(e^{-x}\)组合而成的。并且它和双曲余弦函数\(cosh(x)\)满足\(cosh^{2}(x)-sinh^{2}(x)=1\)，这个关系式类似于三角函数中的\(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1\)。例如，已知\(sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)，\(cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)，则\(cosh^{2}(x)-sinh^{2}(x)=(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2})^{2}-(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2})^{2}=\frac{e^{2x}+2 + e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2 + e^{-2x}}{4}=1\)。

例1：求函数的导数

已知\(y = sinh(x^{2})\)，求\(y^\prime\)。

根据复合函数求导法则，令\(u = x^{2}\)，则\(y = sinh(u)\)。

先对\(y = sinh(u)\)求导，可得\(y^\prime_{u}=\cosh(u)\)；再对\(u = x^{2}\)求导，可得\(u^\prime_{x}=2x\)。

根据复合函数求导公式\(y^\prime_{x}=y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}\)，则\(y^\prime = \cosh(x^{2})\cdot2x = 2x\cosh(x^{2})\) 。

例2：计算定积分

计算\(\int_{0}^{1}sinh(x)dx\)。

由双曲正弦函数的积分公式\(\int sinh(x)dx=\cosh(x)+C\)，可得：

\(\int_{0}^{1}sinh(x)dx=[\cosh(x)]_{0}^{1}=\cosh(1)-\cosh(0)\)

又因为\(\cosh(0)=\frac{e^{0}+e^{-0}}{2}=1\)，\(\cosh(1)=\frac{e^{1}+e^{-1}}{2}\)，所以\(\int_{0}^{1}sinh(x)dx=\frac{e + \frac{1}{e}}{2}-1\) 。

例3：求解方程

已知\(sinh(x)=\frac{3}{4}\)，求\(x\)的值。

由双曲正弦函数的定义\(sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\frac{3}{4}\)，设\(e^{x}=t\)（\(t>0\)），则方程可化为：

\(\frac{t-\frac{1}{t}}{2}=\frac{3}{4}\)

化简得\(4t^{2}-6t - 4 = 0\)，即\(2t^{2}-3t - 2 = 0\)

分解因式得\((2t + 1)(t - 2)=0\)

解得\(t = 2\)或\(t=-\frac{1}{2}\)（舍去）

当\(t = 2\)时，即\(e^{x}=2\)，所以\(x=\ln2\)。

例4：研究函数的性质

已知函数\(y = 2sinh(x)+3\)，分析其单调性、奇偶性等性质。

单调性：因为双曲正弦函数\(sinh(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增，而\(y = 2sinh(x)+3\)中\(2>0\)，所以函数\(y = 2sinh(x)+3\)在\((-\infty,+\infty)\)上也是单调递增的。

奇偶性：由于\(sinh(x)\)是奇函数，即\(sinh(-x)=-sinh(x)\)。那么\(y(-x)=2sinh(-x)+3=-2sinh(x)+3\)，而\(-y(x)=-2sinh(x)-3\)，所以\(y(-x)\neq -y(x)\)，函数\(y = 2sinh(x)+3\)不是奇函数；又因为\(y(-x)\neq y(x)\)，所以函数\(y = 2sinh(x)+3\)也不是偶函数，即该函数是非奇非偶函数。

例5：物理中的应用

在研究悬链线问题时，假设一根均匀柔软的绳索两端固定在两点\(A\)、\(B\)之间，在重力作用下自然下垂，其形状可以用双曲余弦函数来描述，而双曲正弦函数与双曲余弦函数有密切关系。设绳索的最低点为\(C\)，以\(C\)为原点建立直角坐标系，\(x\)轴水平向右，\(y\)轴竖直向上。则绳索的曲线方程为\(y = a\cosh(\frac{x}{a})\)，其中\(a\)为常数。对\(y = a\cosh(\frac{x}{a})\)求导可得\(y^\prime=\sinh(\frac{x}{a})\)，再求导得\(y^{\prime\prime}=\frac{1}{a}\cosh(\frac{x}{a})\)。在物理中，\(y^{\prime\prime}\)与绳索所受的张力等物理量有关，通过对双曲正弦函数和双曲余弦函数的分析，可以进一步研究悬链线的物理性质，如绳索上任意一点的张力大小和方向等 。

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