1. 平面的点法式方程定义

设平面\(\pi\)过点\(M_0(x_0,y_0,z_0)\)，平面\(\pi\)的法向量（垂直于平面的向量）为\(\vec{n}=(A,B,C)\)，对于平面\(\pi\)上任意一点\(M(x,y,z)\)，则向量\(\overrightarrow{M_0M}=(x - x_0,y - y_0,z - z_0)\)。

因为平面\(\pi\)的法向量\(\vec{n}\)与平面上的向量\(\overrightarrow{M_0M}\)垂直，根据向量垂直的性质，它们的数量积为\(0\)，即\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{M_0M}=0\)。

展开可得\(A(x - x_0)+B(y - y_0)+C(z - z_0)=0\)，这就是平面的点法式方程。

2. 平面的点法式方程特点与意义

点法式方程的优点是可以通过平面上的一个点和平面的法向量来确定平面方程。法向量决定了平面的“方向”，点则确定了平面的位置。

例如，若已知平面过点\((1,2,3)\)，法向量为\((2, - 1,3)\)，那么根据点法式方程可得\(2(x - 1)-(y - 2)+3(z - 3)=0\)，展开后为\(2x-y + 3z-9 = 0\)，这个方程就唯一地确定了该平面。

3. 应用示例

例1：求过点\(M(1, - 2,0)\)且以\(\vec{n}=(6, - 4,3)\)为法向量的平面方程。

已知\(x_0 = 1,y_0=-2,z_0 = 0\)，\(A = 6,B=-4,C = 3\)。

根据点法式方程\(A(x - x_0)+B(y - y_0)+C(z - z_0)=0\)，可得\(6(x - 1)-4(y + 2)+3(z-0)=0\)。

展开并化简得\(6x-4y + 3z-14 = 0\)，这就是所求平面的方程。

例2：已知平面\(\alpha\)的法向量为\(\vec{n}=(3,2, - 1)\)，且平面\(\alpha\)过点\(P(2, - 1,3)\)，求平面\(\alpha\)与\(x\)轴交点的坐标。

首先写出平面\(\alpha\)的点法式方程：\(3(x - 2)+2(y + 1)-(z - 3)=0\)，即\(3x+2y-z-1 = 0\)。

因为平面与\(x\)轴交点的\(y = z = 0\)，将\(y = z = 0\)代入平面方程\(3x+2y - z-1 = 0\)，得到\(3x-1 = 0\)，解得\(x=\frac{1}{3}\)。所以平面\(\alpha\)与\(x\)轴交点的坐标为\((\frac{1}{3},0,0)\)。

例3：求过点\(A(1,0,0)\)、\(B(0,1,0)\)和\(C(0,0,1)\)的平面方程。

先求平面的法向量\(\vec{n}\)，\(\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)\)，\(\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)\)。

设\(\vec{n}=(A,B,C)\)，因为\(\vec{n}\perp\overrightarrow{AB}\)且\(\vec{n}\perp\overrightarrow{AC}\)，所以\(\left\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=-A + B = 0\\\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=-A+C = 0\end{array}\right.\)。

解得\(A = B = C\)，不妨令\(A = 1\)，则\(\vec{n}=(1,1,1)\)。

已知平面过点\(A(1,0,0)\)，根据点法式方程可得\((x - 1)+y + z = 0\)，即\(x + y+z - 1 = 0\)。

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