1. 二阶常系数齐次线性微分方程的形式与解法

形式：二阶常系数齐次线性微分方程的标准形式为\(y'' + ay' + by = 0\)，其中\(a\)、\(b\)为常数。

解法 - 特征方程法：设\(y = e^{rx}\)，将其代入方程\(y'' + ay' + by = 0\)，可得\(r^{2}e^{rx}+are^{rx}+be^{rx}=0\)，因为\(e^{rx}\neq0\)，所以得到特征方程\(r^{2}+ar + b = 0\)。

若特征方程有两个不同的实根\(r_{1}\)和\(r_{2}\)，则原方程的通解为\(y = C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}\)。例如，对于方程\(y'' - 3y' + 2y = 0\)，特征方程为\(r^{2}-3r + 2 = 0\)，解得\(r_{1}=1\)，\(r_{2}=2\)，通解为\(y = C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}\)。

若特征方程有两个相等的实根\(r = r_{1}=r_{2}\)，此时通解为\(y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}\)。例如，对于方程\(y'' - 2y' + y = 0\)，特征方程为\(r^{2}-2r + 1 = 0\)，解得\(r = 1\)（二重根），通解为\(y=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}\)。

若特征方程有一对共轭复根\(r_{1}=\alpha + i\beta\)，\(r_{2}=\alpha - i\beta\)，则通解为\(y = e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x + C_{2}\sin\beta x)\)。例如，对于方程\(y'' + y = 0\)，特征方程为\(r^{2}+1 = 0\)，解得\(r_{1}=i\)，\(r_{2}=-i\)，通解为\(y = C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\)。

2. \(n\)阶常系数齐次线性微分方程的形式与解法

形式：\(n\)阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为\(y^{(n)}+a_{1}y^{(n - 1)}+\cdots + a_{n - 1}y'+a_{n}y = 0\)，其中\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)是常数。

解法 - 特征方程法：设\(y = e^{rx}\)，代入方程可得特征方程\(r^{n}+a_{1}r^{n - 1}+\cdots + a_{n - 1}r + a_{n}=0\)。

若特征方程有\(n\)个互不相同的实根\(r_{1},r_{2},\cdots,r_{n}\)，则通解为\(y = C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}+\cdots + C_{n}e^{r_{n}x}\)。

若特征方程有\(k\)重实根\(r\)，则对应的通解部分为\((C_{1}+C_{2}x+\cdots + C_{k}x^{k - 1})e^{rx}\)。例如，对于一个三阶方程，若特征方程为\((r - 1)^{3}=0\)，即\(r = 1\)是三重根，通解的对应部分为\((C_{1}+C_{2}x + C_{3}x^{2})e^{x}\)。

若特征方程有一对共轭复根\(\alpha\pm i\beta\)，则对应的通解部分为\(e^{\alpha x}(C_{1}\cos\beta x + C_{2}\sin\beta x)\)，与二阶方程类似。若有\(m\)对共轭复根，就会有\(m\)个这样的部分相加到通解中。

3. 常系数齐次线性微分方程在实际问题中的应用

物理中的振动问题：例如，在无阻尼自由振动的情况下，根据牛顿第二定律\(m\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+kx = 0\)（\(m\)为质量，\(k\)为弹簧的弹性系数，\(x\)为位移），这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。设\(y = x\)，其特征方程为\(mr^{2}+k = 0\)，解得\(r=\pm i\sqrt{\frac{k}{m}}\)，通解为\(y = C_{1}\cos(\sqrt{\frac{k}{m}}t)+C_{2}\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t)\)，可以用来描述物体的振动规律。

电路中的电流问题：在\(LC\)振荡电路中，根据基尔霍夫定律可得\(L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{1}{C}q = 0\)（\(L\)为电感，\(C\)为电容，\(q\)为电荷量），这也是一个二阶常系数齐次线性微分方程，通过求解可以得到电荷量\(q\)随时间\(t\)的变化规律，进而分析电路的振荡特性。

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