1. 二阶常系数非齐次线性微分方程的形式与解的结构

形式：二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为\(y'' + ay' + by = f(x)\)，其中\(a\)、\(b\)为常数，\(f(x)\neq0\)。

解的结构：其通解\(y = Y(x)+y^{*}(x)\)，其中\(Y(x)\)是对应的齐次方程\(y'' + ay' + by = 0\)的通解，\(y^{*}(x)\)是原非齐次方程的一个特解。例如，对于方程\(y'' - 3y' + 2y = 3x + 1\)，先求齐次方程\(y'' - 3y' + 2y = 0\)的通解\(Y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}\)，再求一个特解\(y^{*}(x)\)，最后得到通解\(y = C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+y^{*}(x)\)。

2. 特解\(y^{*}(x)\)的求法（\(f(x)=P_{m}(x)e^{\lambda x}\)型）

当\(f(x)=P_{m}(x)e^{\lambda x}\)，其中\(P_{m}(x)\)是\(m\)次多项式，设特解\(y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x}\)，这里\(Q_{m}(x)\)是与\(P_{m}(x)\)同次的待定多项式。

当\(\lambda\)不是特征方程\(r^{2}+ar + b = 0\)的根时，\(k = 0\)。例如，对于方程\(y'' - 2y' - 3y = 2x + 1\)，特征方程为\(r^{2}-2r - 3 = 0\)，解得\(r_{1}=3\)，\(r_{2}=-1\)，\(\lambda = 0\)不是特征根，设\(y^{*}=Ax + B\)，代入原方程可求出\(A\)和\(B\)的值。

当\(\lambda\)是单根时，\(k = 1\)。例如，对于方程\(y'' - 3y' + 2y = e^{x}\)，特征方程为\(r^{2}-3r + 2 = 0\)，解得\(r_{1}=1\)，\(r_{2}=2\)，\(\lambda = 1\)是单根，设\(y^{*}=x(Ax + B)e^{x}\)，代入原方程求解。

当\(\lambda\)是重根时，\(k = 2\)。例如，对于方程\(y'' - 2y' + y = x^{2}e^{x}\)，特征方程为\(r^{2}-2r + 1 = 0\)，\(r = 1\)是二重根，设\(y^{*}=x^{2}(Ax^{2}+Bx + C)e^{x}\)，代入原方程确定系数。

3. 特解\(y^{*}(x)\)的求法（\(f(x)=e^{\alpha x}[P_{l}(x)\cos\beta x + Q_{m}(x)\sin\beta x]\)型）

当\(f(x)=e^{\alpha x}[P_{l}(x)\cos\beta x + Q_{m}(x)\sin\beta x]\)，设特解\(y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}[R_{n}(x)\cos\beta x + S_{n}(x)\sin\beta x]\)，其中\(n = \max\{l,m\}\)，\(R_{n}(x)\)和\(S_{n}(x)\)是\(n\)次待定多项式。

当\(\alpha\pm i\beta\)不是特征方程的根时，\(k = 0\)。例如，对于方程\(y'' + y = \sin x\)，特征方程为\(r^{2}+1 = 0\)，\(\alpha = 0\)，\(\beta = 1\)，\(\alpha\pm i\beta=\pm i\)是特征根，设\(y^{*}=A\cos x + B\sin x\)，代入原方程求系数。

当\(\alpha\pm i\beta\)是单根时，\(k = 1\)。例如，对于方程\(y'' - 2y'+2y = e^{x}\sin x\)，特征方程为\(r^{2}-2r + 2 = 0\)，解得\(r = 1\pm i\)，\(\alpha = 1\)，\(\beta = 1\)，\(\alpha\pm i\beta = 1\pm i\)是特征根，设\(y^{*}=xe^{x}(A\cos x + B\sin x)\)，代入原方程确定系数。

4. \(n\)阶常系数非齐次线性微分方程的求解思路

同样遵循通解\(y = Y(x)+y^{*}(x)\)的结构，先求对应的\(n\)阶常系数齐次线性微分方程\(y^{(n)}+a_{1}y^{(n - 1)}+\cdots + a_{n - 1}y'+a_{n}y = 0\)的通解\(Y(x)\)，利用特征方程\(r^{n}+a_{1}r^{n - 1}+\cdots + a_{n - 1}r + a_{n}=0\)求解。然后根据\(f(x)\)的形式求特解\(y^{*}(x)\)，方法与二阶类似，只是特征根的情况可能更复杂，最后得到原\(n\)阶非齐次方程的通解。

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