考研数学：基本初等函数的图形

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1. 常函数

概念：形如\(y = C\)（\(C\)为常数）的函数。

图形性质：

其图像是一条平行于\(x\)轴的直线。

无论\(x\)取何值，\(y\)的值始终为常数\(C\)。例如\(y = 3\)，这条直线经过点\((0,3)\)，并且在整个定义域\((- \infty,+\infty)\)内，\(y\)的值都是\(3\)。

2. 幂函数

概念：一般形式为\(y = x^{a}\)（\(a\)为常数）。

图形性质及举例：

当\(a = 1\)时，\(y=x\)，它的图像是一条经过原点和第一、三象限的直线，斜率为\(1\)。对于任意一点\((x,y)\)在这条直线上，都满足\(y=x\)，比如点\((2,2)\)。

当\(a = 2\)时，\(y = x^{2}\)，这是一个二次函数，图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为\(y\)轴。顶点坐标为\((0,0)\)，当\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(x<0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。例如当\(x = 1\)时，\(y = 1\)；当\(x=-1\)时，\(y = 1\)。

当\(a=-1\)时，\(y=\frac{1}{x}\)，其图像是双曲线。它有两条渐近线，分别是\(x = 0\)和\(y = 0\)。在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分别单调递减。例如当\(x = 1\)时，\(y = 1\)；当\(x = 2\)时，\(y=\frac{1}{2}\)。

3. 指数函数

概念：一般形式为\(y = a^{x}\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)）。

图形性质及举例：

当\(a>1\)时，例如\(y = 2^{x}\)，函数的图像恒过点\((0,1)\)，在\(R\)上单调递增。当\(x\)趋近于\(-\infty\)时，\(y\)趋近于\(0\)；当\(x\)趋近于\(+\infty\)时，\(y\)趋近于\(+\infty\)。

当\(0 < a < 1\)时，比如\(y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\)，函数图像也恒过点\((0,1)\)，在\(R\)上单调递减。当\(x\)趋近于\(-\infty\)时，\(y\)趋近于\(+\infty\)；当\(x\)趋近于\(+\infty\)时，\(y\)趋近于\(0\)。

4. 对数函数

概念：一般形式为\(y=\log_{a}x\)（\(a>0\)且\(a\neq1\)），它是指数函数\(y = a^{x}\)的反函数。

图形性质及举例：

当\(a>1\)时，如\(y=\log_{2}x\)，函数的定义域为\((0,+\infty)\)，图像恒过点\((1,0)\)，在\((0,+\infty)\)上单调递增。当\(x\)趋近于\(0^{+}\)时，\(y\)趋近于\(-\infty\)；当\(x\)趋近于\(+\infty\)时，\(y\)趋近于\(+\infty\)。

当\(0 < a < 1\)时，例如\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)，定义域为\((0,+\infty)\)，图像恒过点\((1,0)\)，在\((0,+\infty)\)上单调递减。当\(x\)趋近于\(0^{+}\)时，\(y\)趋近于\(+\infty\)；当\(x\)趋近于\(+\infty\)时，\(y\)趋近于\(-\infty\)。

5. 三角函数

正弦函数

概念：\(y = \sin x\)。

图形性质：定义域为\((- \infty,+\infty)\)，值域为\([-1,1]\)，是周期函数，周期为\(2\pi\)。它的图像是一条波浪线，关于原点对称，是奇函数。例如\(\sin0 = 0\)，\(\sin\frac{\pi}{2}=1\)，\(\sin\pi = 0\)，\(\sin\frac{3\pi}{2}=-1\)。

余弦函数

概念：\(y=\cos x\)。

图形性质：定义域为\((- \infty,+\infty)\)，值域为\([-1,1]\)，周期为\(2\pi\)。图像是一条波浪线，关于\(y\)轴对称，是偶函数。例如\(\cos0 = 1\)，\(\cos\frac{\pi}{2}=0\)，\(\cos\pi=-1\)，\(\cos\frac{3\pi}{2}=0\)。

正切函数

概念：\(y = \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)。

图形性质：定义域为\(\left\{x|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\right\}\)，值域为\((- \infty,+\infty)\)，周期为\(\pi\)。它的图像有无数条渐近线，\(x = k\pi+\frac{\pi}{2}(k\in Z)\)是其渐近线，在每个周期内单调递增。例如\(\tan\frac{\pi}{4}=1\)，\(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-1\)。