考研数学：伯努利方程
1. 伯努利方程的定义和形式
伯努利方程是一种特殊形式的一阶微分方程，其标准形式为\(y'+p(x)y = q(x)y^{n}\)，其中\(n\neq0,1\)，\(p(x)\)和\(q(x)\)是\(x\)的函数。例如，\(y' + \frac{2}{x}y = x y^{3}\)就是一个伯努利方程。
2. 求解伯努利方程的方法
首先进行变量代换，令\(z = y^{1 - n}\)，对\(z\)关于\(x\)求导，根据复合函数求导法则\(z'=(1 - n)y^{-n}y'\)，则\(y'=\frac{y^{n}}{1 - n}z'\)。
将\(y'\)和\(z = y^{1 - n}\)代入伯努利方程\(y'+p(x)y = q(x)y^{n}\)，得到\(\frac{y^{n}}{1 - n}z'+p(x)y = q(x)y^{n}\)，进一步变形为\(z'+(1 - n)p(x)z=(1 - n)q(x)\)。
此时方程\(z'+(1 - n)p(x)z=(1 - n)q(x)\)已经转化为一阶线性微分方程的形式，可以使用求解一阶线性微分方程的方法（常数变易法）来求解。
求出\(z\)的通解后，再将\(z = y^{1 - n}\)回代，从而得到\(y\)的通解。
3. 示例：求解方程\(y' - \frac{2}{x}y = x y^{2}\)。
这是一个伯努利方程，其中\(n = 2\)，\(p(x)=-\frac{2}{x}\)，\(q(x)=x\)。
令\(z = y^{1 - 2}=y^{-1}\)，则\(z'=-y^{-2}y'\)，\(y'=-y^{2}z'\)。
代入原方程可得\(-y^{2}z' - \frac{2}{x}y = x y^{2}\)，化简为\(z'+\frac{2}{x}z=-x\)。
先求对应的齐次方程\(z'+\frac{2}{x}z = 0\)的通解，分离变量得\(\frac{dz}{z}=-\frac{2}{x}dx\)，两边积分得\(\ln|z|=-2\ln|x|+C_1\)，即\(z = \frac{C}{x^{2}}\)（其中\(C = e^{C_1}\)）。
用常数变易法求非齐次方程\(z'+\frac{2}{x}z=-x\)的通解，设\(z = \frac{C(x)}{x^{2}}\)，求导得\(z'=\frac{C'(x)}{x^{2}}-\frac{2C(x)}{x^{3}}\)。
代入\(z'+\frac{2}{x}z=-x\)可得\(\frac{C'(x)}{x^{2}}-\frac{2C(x)}{x^{3}}+\frac{2}{x}\cdot\frac{C(x)}{x^{2}}=-x\)，化简得\(C'(x)=-x^{3}\)。
两边积分得\(C(x)=-\frac{1}{4}x^{4}+C\)，所以\(z\)的通解为\(z = \frac{1}{x^{2}}(-\frac{1}{4}x^{4}+C)\)。
将\(z = y^{-1}\)回代，得到\(y = \frac{x^{2}}{C - \frac{1}{4}x^{4}}\)，这就是原方程的通解。
4. 伯努利方程的应用场景和意义
应用场景：伯努利方程在流体力学中有广泛的应用。例如，在研究理想流体在管道中的流动时，根据能量守恒定律和牛顿第二定律可以推导出伯努利方程的形式，用来描述流体的压强、流速和高度之间的关系。在化学工程中，对于一些涉及到反应速率与物质浓度关系的问题，也可能会出现伯努利方程的形式。
意义：它是一种可以通过适当变换转化为已知可解类型（一阶线性微分方程）的方程，这种转化的思想在数学和物理等领域解决问题时非常重要。通过解决伯努利方程，我们可以更好地理解和处理一些实际问题中复杂的变化关系。
