考研数学：伯努利双纽线
1. 伯努利双纽线的概念
伯努利双纽线的直角坐标方程为\((x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})\)（\(a\neq0\)），在极坐标系下方程可表示为\(r^{2}=2a^{2}\cos2\theta\)。它是一种特殊的平面曲线，形状像一个横放的“8”字，关于原点对称。
2. 伯努利双纽线的性质
对称性
关于原点对称。若点\((x,y)\)在双纽线上，那么点\((-x,-y)\)也在双纽线上。这是因为将\(x\)换成\(-x\)，\(y\)换成\(-y\)后，方程\(((-x)^{2}+(-y)^{2})^{2}=2a^{2}((-x)^{2}-(-y)^{2})\)依然成立。
关于\(x\)轴和\(y\)轴也对称。对于关于\(x\)轴对称，当把\(y\)换成\(-y\)时，方程\((x^{2}+(-y)^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-(-y)^{2})\)不变；同理对于\(y\)轴对称，把\(x\)换成\(-x\)时方程也不变。
特殊点与切线
经过原点\((0,0)\)。在原点处，曲线的切线情况较为复杂。通过隐函数求导可以研究其在原点处的切线斜率，实际上在原点处有两条切线，它们互相垂直。
围成面积
双纽线所围成的面积为\(a^{2}\)。利用极坐标下的面积公式\(S = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}d\theta\)，对于伯努利双纽线\(r^{2}=2a^{2}\cos2\theta\)，其围成区域对应的\(\theta\)范围是\(-\frac{\pi}{4}\)到\(\frac{\pi}{4}\)和\(\frac{3\pi}{4}\)到\(\frac{5\pi}{4}\)，将\(r^{2}=2a^{2}\cos2\theta\)代入面积公式计算可得面积为\(a^{2}\)。
3. 举例
当\(a = 1\)时，直角坐标方程为\((x^{2}+y^{2})^{2}=2(x^{2}-y^{2})\)。
当\(x = 0\)时，\(y = 0\)。
当\(x=\sqrt{2}\)时，\((2 + y^{2})^{2}=2(2 - y^{2})\)，通过求解这个方程可以得到\(y\)的值，从而确定双纽线上的点。这样可以帮助我们更好地描绘出双纽线的形状，它在原点附近交叉，然后向两侧延伸，形成类似“8”字的形状，在数学、物理等领域有诸多应用，比如在电场、磁场的等势线分布等情况中可能会出现伯努利双纽线的形状。
