考研数学：基本求导法则与求导公式
1. 基本求导公式
常数函数：若\(y = C\)（\(C\)为常数），则\(y^\prime=0\)。例如\(y = 5\)，其导数\(y^\prime = 0\)。
幂函数：对于\(y = x^{n}\)（\(n\)为实数），\(y^\prime=nx^{n - 1}\)。如\(y = x^{3}\)，则\(y^\prime = 3x^{2}\)；当\(n=\frac{1}{2}\)，即\(y = x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}\)，\(y^\prime=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)。
指数函数：
\(y = a^{x}\)（\(a>0,a\neq1\)），\(y^\prime=a^{x}\ln a\)。例如\(y = 2^{x}\)，\(y^\prime = 2^{x}\ln 2\)。
特殊地，当\(a = e\)时，\(y = e^{x}\)，\(y^\prime=e^{x}\)。
对数函数：
\(y=\log_{a}x\)（\(a>0,a\neq1,x>0\)），\(y^\prime=\frac{1}{x\ln a}\)。比如\(y=\log_{2}x\)，\(y^\prime=\frac{1}{x\ln 2}\)。
当\(a = e\)时，\(y=\ln x\)，\(y^\prime=\frac{1}{x}\)。
三角函数：
\(y = \sin x\)，\(y^\prime=\cos x\)。
\(y = \cos x\)，\(y^\prime=-\sin x\)。
\(y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\)，\(y^\prime=\sec^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}\)。
\(y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\)，\(y^\prime=-\csc^{2}x=-\frac{1}{\sin^{2}x}\)。
\(y=\sec x=\frac{1}{\cos x}\)，\(y^\prime=\sec x\tan x\)。
\(y=\csc x=\frac{1}{\sin x}\)，\(y^\prime=-\csc x\cot x\)。
反三角函数：
\(y = \arcsin x\)，\(y^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)。
\(y=\arccos x\)，\(y^\prime=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)。
\(y=\arctan x\)，\(y^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}\)。
\(y=\text{arccot}x\)，\(y^\prime=-\frac{1}{1 + x^{2}}\)。
2. 求导法则
加法法则：若\(y = u(x)+v(x)\)，则\(y^\prime=(u(x)+v(x))^\prime = u^\prime(x)+v^\prime(x)\)。
例如，若\(y = x^{2}+\sin x\)，\(y^\prime=(x^{2})^\prime+(\sin x)^\prime = 2x+\cos x\)。
减法法则：若\(y = u(x)-v(x)\)，则\(y^\prime=(u(x)-v(x))^\prime = u^\prime(x)-v^\prime(x)\)。
例如，若\(y = 3x - \ln x\)，\(y^\prime=(3x)^\prime-(\ln x)^\prime = 3-\frac{1}{x}\)。
乘法法则：若\(y = u(x)v(x)\)，则\(y^\prime=(u(x)v(x))^\prime = u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x)\)。
例如，若\(y=(x + 1)\sin x\)，设\(u(x)=x + 1\)，\(v(x)=\sin x\)，则
\(y^\prime=(x + 1)^\prime\sin x+(x + 1)(\sin x)^\prime=\sin x+(x + 1)\cos x\)。
除法法则：若\(y=\frac{u(x)}{v(x)}\)（\(v(x)\neq0\)），则
\(y^\prime=\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)^\prime=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^{2}(x)}\)。
例如，若\(y=\frac{x^{2}}{x + 1}\)，设\(u(x)=x^{2}\)，\(v(x)=x + 1\)，则
\(y^\prime=\frac{(x^{2})^\prime(x + 1)-x^{2}(x + 1)^\prime}{(x + 1)^{2}}=\frac{2x(x + 1)-x^{2}}{(x + 1)^{2}}=\frac{x^{2}+2x}{(x + 1)^{2}}\)。
复合函数求导法则：设\(y = f(u)\)，\(u = g(x)\)，则复合函数\(y = f(g(x))\)的导数为\(y^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)\)。
例如，若\(y=\sin(x^{2})\)，令\(u = x^{2}\)，则\(y=\sin u\)，\(y^\prime=\cos u\cdot u^\prime=\cos(x^{2})\cdot2x = 2x\cos x^{2}\)。
