1. 第二类换元积分法的定义和原理

设函数\(x = \varphi(t)\)是单调的、可导的函数，并且\(\varphi^{\prime}(t)\neq0\)。

若\(\int f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)dt = F(t)+C\)，则\(\int f(x)dx=F[\varphi^{-1}(x)] + C\)，其中\(\varphi^{-1}(x)\)是\(x=\varphi(t)\)的反函数。

其基本思想是通过适当的变量代换\(x = \varphi(t)\)，将较复杂的积分\(\int f(x)dx\)转化为较简单的积分\(\int f[\varphi(t)]\varphi^{\prime}(t)dt\)形式来求解。

例1：计算\(\int\frac{1}{1 + \sqrt{x}}dx\)。

令\(t=\sqrt{x}\)，则\(x = t^{2}\)，\(dx = 2tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{1 + t}\cdot2tdt=2\int\frac{t}{1 + t}dt=2\int(1-\frac{1}{1 + t})dt\)。

进一步计算得\(2\int(1-\frac{1}{1 + t})dt=2(t-\ln|1 + t|)+C\)。

再将\(t=\sqrt{x}\)代回，得到\(2(\sqrt{x}-\ln(1+\sqrt{x}))+C\)。

例2：计算\(\int\frac{\sqrt{x - 1}}{x}dx\)。

令\(t=\sqrt{x - 1}\)，则\(x=t^{2}+1\)，\(dx = 2tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{t}{t^{2}+1}\cdot2tdt = 2\int\frac{t^{2}}{t^{2}+1}dt\)。

变形为\(2\int(1-\frac{1}{t^{2}+1})dt=2(t - \arctan t)+C\)。

代回\(t=\sqrt{x - 1}\)，结果是\(2(\sqrt{x - 1}-\arctan\sqrt{x - 1})+C\)。

例3：计算\(\int\sqrt{a^{2}-x^{2}}dx\)（\(a>0\)）。

令\(x = a\sin t\)，\(-\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2}\)，则\(dx=a\cos tdt\)。

原积分变为\(\int\sqrt{a^{2}-a^{2}\sin^{2}t}\cdot a\cos tdt=a^{2}\int\cos^{2}tdt\)。

利用\(\cos^{2}t=\frac{1 + \cos2t}{2}\)，得到\(a^{2}\int\frac{1+\cos2t}{2}dt=\frac{a^{2}}{2}(t+\frac{\sin2t}{2})+C\)。

由\(x = a\sin t\)，可得\(t=\arcsin\frac{x}{a}\)，\(\sin2t = 2\sin t\cos t=\frac{2x}{a}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}\)。

最终结果为\(\frac{a^{2}}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C\)。

例4：计算\(\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}dx\)（\(a>0\)）。

令\(x = a\tan t\)，\(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}\)，则\(dx=a\sec^{2}tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}\tan^{2}t+a^{2}}}\cdot a\sec^{2}tdt=\int\sec tdt\)。

而\(\int\sec tdt=\ln|\sec t+\tan t|+C\)。

由\(x = a\tan t\)，可得\(\tan t=\frac{x}{a}\)，\(\sec t=\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}\)。

所以结果是\(\ln|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}|+C\)。

例5：计算\(\int\frac{1}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}dx\)（\(a>0\)）。

令\(x = a\sec t\)，\(0\leq t<\frac{\pi}{2}\)或\(\pi\leq t<\frac{3\pi}{2}\)，则\(dx=a\sec t\tan tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{\sqrt{a^{2}\sec^{2}t - a^{2}}}\cdot a\sec t\tan tdt=\int\sec tdt\)。

同样\(\int\sec tdt=\ln|\sec t+\tan t|+C\)。

由\(x = a\sec t\)，可得\(\sec t=\frac{x}{a}\)，\(\tan t=\frac{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}{a}\)。

结果是\(\ln|x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+C\)。

例6：计算\(\int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx\)。

令\(t=\frac{1}{x}\)，则\(x=\frac{1}{t}\)，\(dx=-\frac{1}{t^{2}}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{\frac{1}{t}\sqrt{\frac{1}{t^{2}}-1}}\cdot(-\frac{1}{t^{2}})dt=-\int\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}dt\)。

而\(-\int\frac{1}{\sqrt{1 - t^{2}}}dt=-\arcsin t + C\)。

代回\(t=\frac{1}{x}\)，得到\(-\arcsin\frac{1}{x}+C\)。

例7：计算\(\int\frac{1}{x^{2}\sqrt{1 + x^{2}}}dx\)。

令\(t = \frac{1}{x}\)，则\(x=\frac{1}{t}\)，\(dx=-\frac{1}{t^{2}}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{\frac{1}{t^{2}}\sqrt{1+\frac{1}{t^{2}}}}\cdot(-\frac{1}{t^{2}})dt=-\int\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}dt\)。

再令\(u=t^{2}+1\)，\(du = 2tdt\)，积分变为\(-\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}du\)。

计算得\(-\sqrt{u}+C=-\sqrt{t^{2}+1}+C\)。

代回\(t=\frac{1}{x}\)，结果是\(-\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}+C\)。

例8：计算\(\int\frac{1}{1 + e^{x}}dx\)。

令\(t = e^{x}\)，则\(x=\ln t\)，\(dx=\frac{1}{t}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{1 + t}\cdot\frac{1}{t}dt=\int(\frac{1}{t}-\frac{1}{t + 1})dt\)。

计算得\(\ln|t|-\ln|t + 1|+C\)。

代回\(t = e^{x}\)，得到\(x-\ln(1 + e^{x})+C\)。

例9：计算\(\int\frac{e^{x}}{1 + e^{2x}}dx\)。

令\(t = e^{x}\)，则\(dx=\frac{1}{t}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{t}{1 + t^{2}}\cdot\frac{1}{t}dt=\int\frac{1}{1 + t^{2}}dt\)。

结果是\(\arctan t + C=\arctan e^{x}+C\)。

例10：计算\(\int\sqrt{x^{2}+1}dx\)。

令\(x=\sinh t\)，则\(dx=\cosh tdt\)。

原积分变为\(\int\sqrt{\sinh^{2}t + 1}\cdot\cosh tdt=\int\cosh^{2}tdt\)。

利用\(\cosh^{2}t=\frac{1+\cosh2t}{2}\)，可得\(\int\frac{1+\cosh2t}{2}dt=\frac{1}{2}(t+\frac{\sinh2t}{2})+C\)。

由\(x = \sinh t\)，可得\(t=\sinh^{-1}x\)，\(\sinh2t = 2\sinh t\cosh t = 2x\sqrt{x^{2}+1}\)。

最终结果是\(\frac{1}{2}\sinh^{-1}x+\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+1}+C\)。

例11：计算\(\int\frac{1}{\sqrt{(x - 1)(x - 2)}}dx\)。

先对\((x - 1)(x - 2)=x^{2}-3x + 2\)进行配方，令\(t=\sqrt{x^{2}-3x + 2}\)，\(x=\frac{3 + \sqrt{1 + 4t^{2}}}{2}\)（这里只考虑一种情况，根据定义域选取合适的分支），\(dx=\frac{2t}{\sqrt{1 + 4t^{2}}}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{t}\cdot\frac{2t}{\sqrt{1 + 4t^{2}}}dt=\int\frac{2}{\sqrt{1 + 4t^{2}}}dt\)。

再令\(u = 2t\)，\(du=2dt\)，积分变为\(\int\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}du\)。

根据前面三角代换的结果，它等于\(\ln|u+\sqrt{u^{2}+1}|+C\)。

代回\(u = 2t\)，\(t=\sqrt{x^{2}-3x + 2}\)，得到\(\ln|2\sqrt{(x - 1)(x - 2)}+\sqrt{4(x - 1)(x - 2)+1}|+C\)。

例12：计算\(\int\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2}+2x - 3}}dx\)。

先对\(x^{2}+2x - 3=(x + 1)^{2}-4\)。令\(t=\sqrt{(x + 1)^{2}-4}\)，\(x=-1+\sqrt{t^{2}+4}\)，\(dx=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{-1+\sqrt{t^{2}+4}+1}{\sqrt{t^{2}+4}}\cdot\frac{t}{\sqrt{t^{2}+4}}dt=\int\frac{t^{2}}{t^{2}+4}dt\)。

变形为\(\int(1-\frac{4}{t^{2}+4})dt=t - 2\arctan\frac{t}{2}+C\)。

代回\(t=\sqrt{(x + 1)^{2}-4}\)，结果是\(\sqrt{x^{2}+2x - 3}-2\arctan\frac{\sqrt{x^{2}+2x - 3}}{2}+C\)。

例13：计算\(\int\frac{1}{x\sqrt{1 - x^{4}}}dx\)。

令\(t = x^{2}\)，则\(dx=\frac{1}{2\sqrt{t}}dt\)。

原积分变为\(\frac{1}{2}\int\frac{1}{t\sqrt{1 - t^{2}}}dt\)。

再令\(u=\sqrt{1 - t^{2}}\)，\(t^{2}=1 - u^{2}\)，\(dt=-\frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}du\)。

积分变为\(-\frac{1}{2}\int\frac{1}{(1 - u^{2})}du\)。

利用部分分式分解\(-\frac{1}{2}\int(\frac{1}{2(1 - u)}+\frac{1}{2(1 + u)})du\)。

计算得\(-\frac{1}{4}\ln|\frac{1 - u}{1 + u}|+C\)。

代回\(u=\sqrt{1 - t^{2}}\)，\(t = x^{2}\)，得到\(-\frac{1}{4}\ln|\frac{1-\sqrt{1 - x^{4}}}{1+\sqrt{1 - x^{4}}}|+C\)。

例14：计算\(\int\frac{1}{(x + 1)\sqrt{x^{2}+2x}}dx\)。

先对\(x^{2}+2x=(x + 1)^{2}-1\)。令\(t=\sqrt{(x + 1)^{2}-1}\)，\(x=-1+\sqrt{t^{2}+1}\)，\(dx=\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{(-1+\sqrt{t^{2}+1}+1)\sqrt{t^{2}+1}}\cdot\frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}}dt=\int\frac{1}{t^{2}+1}dt\)。

结果是\(\arctan t + C=\arctan\sqrt{x^{2}+2x}+C\)。

例15：计算\(\int\frac{1}{x^{2}\sqrt{4 - x^{2}}}dx\)。

令\(x = 2\sin t\)，\(dx = 2\cos tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{4\sin^{2}t\cdot2\cos t}\cdot2\cos tdt=\frac{1}{4}\int\frac{1}{\sin^{2}t}dt\)。

而\(\frac{1}{4}\int\frac{1}{\sin^{2}t}dt=-\frac{1}{4}\cot t + C\)。

由\(x = 2\sin t\)，可得\(\cot t=\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{x}\)。

所以结果是\(-\frac{\sqrt{4 - x^{2}}}{4x}+C\)。

例16：计算\(\int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}dx\)。

令\(x = 3\sec t\)，\(dx = 3\sec t\tan tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{\sqrt{9\sec^{2}t - 9}}{3\sec t}\cdot3\sec t\tan tdt=3\int\tan^{2}tdt\)。

利用\(\tan^{2}t=\sec^{2}t - 1\)，得到\(3\int(\sec^{2}t - 1)dt=3(\tan t - t)+C\)。

由\(x = 3\sec t\)，可得\(\tan t=\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}\)，\(t=\sec^{-1}\frac{x}{3}\)。

最终结果是\(\sqrt{x^{2}-9}-3\sec^{-1}\frac{x}{3}+C\)。

例17：计算\(\int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}+4x + 3}}dx\)

先对\(x^{2}+4x + 3=(x + 2)^{2}-1\)进行配方处理。

令\(t = x + 2\)，则\(x=t - 2\)，\(dx = dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{(t - 2)\sqrt{t^{2}-1}}dt\)。

再令\(u=\sqrt{t^{2}-1}\)，则\(t^{2}=u^{2}+ 1\)，\(dt=\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}du\)。

此时积分变为\(\int\frac{1}{( \sqrt{u^{2}+1}-2)u}\cdot\frac{u}{\sqrt{u^{2}+1}}du=\int\frac{1}{(\sqrt{u^{2}+1}-2)\sqrt{u^{2}+1}}du\)。

然后通过有理化等进一步变形处理（设\(\sqrt{u^{2}+1}=z\)等再进行换元）继续计算，经过一系列计算后可得：

\(\int\frac{1}{x\sqrt{x^{2}+4x + 3}}dx\)

\(=\ln\left|\frac{\sqrt{x^{2}+4x + 3}-2}{x}\right| + C\)

例18：计算\(\int\frac{x^{2}}{\sqrt{9 - x^{2}}}dx\)

令\(x = 3\sin t\)，\(-\frac{\pi}{2}\leq t\leq\frac{\pi}{2}\)，则\(dx = 3\cos tdt\)。

原积分变为\(\int\frac{9\sin^{2}t}{\sqrt{9 - 9\sin^{2}t}}\cdot3\cos tdt = 9\int\sin^{2}t dt\)。

利用\(\sin^{2}t=\frac{1 - \cos2t}{2}\)可得：

\(9\int\sin^{2}t dt&=9\int\frac{1 - \cos2t}{2}dt=\frac{9}{2}\left(t-\frac{\sin2t}{2}\right)+C\)

由\(x = 3\sin t\)，可得\(t=\arcsin\frac{x}{3}\)，\(\sin2t = 2\sin t\cos t=\frac{2x}{3}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{3^{2}}}\)。

最终结果为\(\frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3}-\frac{x}{2}\sqrt{9 - x^{2}}+C\)。

例19：计算\(\int\frac{1}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+2}}dx\)

令\(x=\tan t\)，则\(dx=\sec^{2}t dt\)。

原积分变为\(\int\frac{1}{(\tan^{2}t + 1)\sqrt{\tan^{2}t + 2}}\cdot\sec^{2}t dt=\int\frac{1}{\sec t\sqrt{\sec^{2}t + 1}}dt\)（利用\(\tan^{2}t + 1=\sec^{2}t\)）。

进一步化简为\(\int\frac{\cos t}{\sqrt{1 + \sec^{2}t}}dt\)。

再令\(u=\sec t\)，\(du=\sec t\tan t dt\)，则积分变为\(\int\frac{1}{u\sqrt{u^{2}+1}}du\)。

又通过倒代换（令\(v=\frac{1}{u}\)等）继续计算，最后可得：

\(\int\frac{1}{(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+2}}dx\)

\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}\right)+C\)

例20：计算\(\int\frac{\sqrt{4x^{2}-1}}{x}dx\)

令\(2x=\sec t\)，则\(x=\frac{1}{2}\sec t\)，\(dx=\frac{1}{2}\sec t\tan t dt\)。

原积分变为\(\int\frac{\sqrt{\sec^{2}t - 1}}{\frac{1}{2}\sec t}\cdot\frac{1}{2}\sec t\tan t dt = 2\int\tan^{2}t dt\)。

利用\(\tan^{2}t=\sec^{2}t - 1\)可得：

\(2\int\tan^{2}t dt=2\int(\sec^{2}t - 1)dt=2(\tan t - t)+C\)

由\(2x=\sec t\)，可得\(\tan t=\sqrt{4x^{2}-1}\)，\(t=\text{arcsec}(2x)\)。

最终结果是\(2\left(\sqrt{4x^{2}-1}-\text{arcsec}(2x)\right)+C\)。

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