1. 比较审敛法

原理：设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，\(a\)为瑕点，且\(0\leq f(x)\leq g(x)\)。

如果\(\int_{a}^{b}g(x)dx\)收敛，那么\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)也收敛。这是因为\(f(x)\)对应的积分面积小于等于\(g(x)\)对应的积分面积，当\(g(x)\)的积分收敛（即积分面积是有限值）时，\(f(x)\)的积分面积也为有限值。例如，判断\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx\)的敛散性，因为\(\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}\leq\frac{1}{\sqrt{x}}\)，而\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)收敛，所以\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx\)收敛。

反之，如果\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散，那么\(\int_{a}^{b}g(x)dx\)也发散。

极限形式的比较审敛法：设函数\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，\(a\)为瑕点且\(f(x)\geq0\)。

若存在常数\(0 < p < 1\)和\(M\geq0\)，使得\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=M\)（\(M\)为有限值），则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛。例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{0.9}}dx\)，令\(p = 0.9\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}x^{0.9}\cdot\frac{1}{x^{0.9}} = 1\)，因为\(p = 0.9 < 1\)，所以该瑕积分收敛。

若存在常数\(p\geq1\)和\(N > 0\)，使得\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}(x - a)^{p}f(x)=N\)（\(N\)为非零有限值或者\(+\infty\)），则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散。例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx\)，令\(p = 1\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}x\cdot\frac{1}{x}=1\)，因为\(p = 1\)，所以该瑕积分发散。

2. 柯西判别法（极限形式）

原理：设\(f(x)\)在区间\((a,b]\)上连续，\(a\)为瑕点且\(f(x)\geq0\)。

若\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}(x - a)f(x)=l\)，当\(l < +\infty\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛；当\(l>0\)时，\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)发散。例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{1 - x}dx\)，令\(x - 0 = x\)，\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}x\cdot\frac{1}{1 - x}=0\)，所以该积分收敛。

3. 狄利克雷判别法（瑕积分形式）

原理：设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)满足以下条件：

对于任意\(\eta\in(a,b)\)，\(\int_{a}^{\eta}f(x)dx\)有界。

\(g(x)\)在\((a,b]\)上单调且\(\lim_{x\rightarrow a^{+}}g(x)=0\)。

那么\(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\)收敛。例如，对于\(\int_{0}^{1}\frac{\sin\frac{1}{x}}{x^{p}}dx\)（\(0 < p < 1\)），令\(f(x)=\sin\frac{1}{x}\)，\(g(x)=\frac{1}{x^{p}}\)。\(\int_{0}^{\eta}\sin\frac{1}{x}dx\)是有界的，\(g(x)\)在\((0,1]\)上单调且\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{1}{x^{p}}=+\infty\)，根据狄利克雷判别法可知该积分收敛。

4. 阿贝尔判别法（瑕积分形式）

原理：设函数\(f(x)\)和\(g(x)\)满足以下条件：

\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)收敛。

\(g(x)\)在\((a,b]\)上单调有界。

那么\(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\)收敛。例如，已知\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)收敛，设\(g(x)=\cos x\)（在\((0,1]\)上单调有界），对于\(\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\cos xdx\)，根据阿贝尔判别法可知该积分收敛。

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