考研数学：基本积分表
1. 幂函数的积分
\(\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq - 1\)）。
例如，当\(n = 2\)时，\(\int x^{2}dx=\frac{1}{3}x^{3}+C\)。这个公式的推导可以根据求导公式\((x^{n})^\prime=nx^{n - 1}\)反推得到。求\(\left(\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C\right)^\prime\)，根据求导公式可得\(\frac{1}{n + 1}\times(n + 1)x^{n}=x^{n}\)，所以积分公式成立。
当\(n=-1\)时，\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)。这是因为当\(x>0\)时，\((\ln x)^\prime=\frac{1}{x}\)；当\(x<0\)时，\([\ln(-x)]^\prime=\frac{1}{-x}\times(-1)=\frac{1}{x}\)，所以\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)。
2. 指数函数的积分
\(\int a^{x}dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\)（\(a>0,a\neq1\)）。
例如，对于\(a = e\)，因为\(e^{x}\)的导数是\(e^{x}\)，所以\(\int e^{x}dx=e^{x}+C\)。对于一般的指数函数\(a^{x}\)，根据求导公式\((a^{x})^\prime=a^{x}\ln a\)反推得到积分公式。
3. 三角函数的积分
\(\int\sin xdx=-\cos x + C\)。因为\((-\cos x)^\prime=\sin x\)。
\(\int\cos xdx=\sin x + C\)。由于\((\sin x)^\prime=\cos x\)。
\(\int\sec^{2}x dx=\tan x + C\)。因为\((\tan x)^\prime=\sec^{2}x\)。
\(\int\csc^{2}x dx=-\cot x + C\)。由于\((-\cot x)^\prime=\csc^{2}x\)。
\(\int\sec x\tan xdx=\sec x + C\)。因为\((\sec x)^\prime=\sec x\tan x\)。
\(\int\csc x\cot xdx=-\csc x + C\)。由于\((-\csc x)^\prime=\csc x\cot x\)。
4. 反三角函数的积分
\(\int\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}dx=\arcsin x + C\)。这是因为\((\arcsin x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)。
\(\int\frac{1}{1 + x^{2}}dx=\arctan x + C\)。因为\((\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}\)。
