1. \(y^{(n)} = f(x)\)型的微分方程

解法：这种类型的方程是最简单的可降阶的高阶微分方程。通过逐次积分来求解，对\(y^{(n)} = f(x)\)两边同时积分一次，得到\(y^{(n - 1)}=\int f(x)dx + C_1\)，这就将方程的阶数降低了一阶。然后再对\(y^{(n - 1)}=\int f(x)dx + C_1\)进行积分，得到\(y^{(n - 2)}=\int\left(\int f(x)dx + C_1\right)dx + C_2\)，如此继续积分\(n\)次，就可以得到含有\(n\)个任意常数的通解。

示例：例如，对于方程\(y''' = x^2 + 1\)，第一次积分得\(y''=\frac{1}{3}x^3 + x + C_1\)，第二次积分得\(y'=\frac{1}{12}x^4+\frac{1}{2}x^2 + C_1x + C_2\)，第三次积分得\(y=\frac{1}{60}x^5+\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{2}C_1x^2 + C_2x + C_3\)，这就是原方程的通解。

2. \(y'' = f(x,y')\)型的微分方程

解法：令\(y' = p\)，则\(y''=\frac{dp}{dx}\)，原方程就变为\(\frac{dp}{dx}=f(x,p)\)，这是一个一阶微分方程。如果能够求出这个一阶微分方程的通解\(p = \varphi(x,C_1)\)，因为\(p = y'\)，所以再对\(y'=\varphi(x,C_1)\)积分，就可以得到原方程的通解\(y=\int\varphi(x,C_1)dx + C_2\)。

示例：例如，对于方程\(y'' = \frac{1 + y'^2}{x}\)，令\(y' = p\)，则\(y''=\frac{dp}{dx}\)，原方程变为\(\frac{dp}{dx}=\frac{1 + p^2}{x}\)，这是一个可分离变量的微分方程。分离变量得\(\frac{dp}{1 + p^2}=\frac{dx}{x}\)，两边积分得\(\arctan p=\ln|x| + C_1\)，即\(p = \tan(\ln|x| + C_1)\)。因为\(p = y'\)，所以再积分得\(y=\int\tan(\ln|x| + C_1)dx + C_2\)，这里\(\int\tan(\ln|x| + C_1)dx\)可以通过换元法等进一步计算。

3. \(y'' = f(y,y')\)型的微分方程

解法：令\(y' = p\)，则\(y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}\)，原方程就变为\(p\frac{dp}{dy}=f(y,p)\)，这是一个一阶微分方程。如果能够求出这个一阶微分方程的通解\(p = \varphi(y,C_1)\)，因为\(p = y'\)，所以可以得到\(\frac{dy}{dx}=\varphi(y,C_1)\)，这是一个可分离变量的微分方程，分离变量并积分就可以得到原方程的通解。

示例：例如，对于方程\(y'' = 2y y'\)，令\(y' = p\)，则\(y'' = p\frac{dp}{dy}\)，原方程变为\(p\frac{dp}{dy}=2yp\)。当\(p\neq0\)时，两边同时除以\(p\)得\(\frac{dp}{dy}=2y\)，积分得\(p = y^2 + C_1\)，即\(y' = y^2 + C_1\)。这是一个可分离变量的微分方程，分离变量得\(\frac{dy}{y^2 + C_1}=dx\)，再积分就可以得到原方程的通解。当\(p = 0\)时，\(y' = 0\)，\(y = C\)也是原方程的解，需要把这种情况也考虑进去。

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