1. 双曲余弦函数的定义

双曲余弦函数记为\(\cosh(x)\)，其定义为\(\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)，其中\(e\)是自然常数，约等于\(2.71828\)。例如，当\(x = 0\)时，\(\cosh(0)=\frac{e^{0}+e^{-0}}{2}=\frac{1 + 1}{2}=1\)。

2. 双曲余弦函数的性质

奇偶性：双曲余弦函数是偶函数，即\(\cosh(-x)=\cosh(x)\)。证明如下：\(\cosh(-x)=\frac{e^{-x}+e^{-(-x)}}{2}=\frac{e^{-x}+e^{x}}{2}=\cosh(x)\)。

单调性：在区间\((0,+\infty)\)上单调递增，在区间\((-\infty,0)\)上单调递减。对\(\cosh(x)\)求导，\((\cosh(x))^\prime=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh(x)\)。当\(x>0\)时，\(\sinh(x)>0\)，函数单调递增；当\(x < 0\)时，\(\sinh(x)<0\)，函数单调递减。

值域：因为\(e^{x}>0\)，\(e^{-x}>0\)，所以\(\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\geq\frac{2\sqrt{e^{x}\times e^{-x}}}{2}=1\)，当且仅当\(x = 0\)时取等号，所以其值域是\([1,+\infty)\)。

3. 双曲余弦函数的图像

双曲余弦函数的图像关于\(y\)轴对称，形状类似一个开口向上的抛物线，但增长速度比抛物线快。它的最低点是\((0,1)\)，当\(x\to\pm\infty\)时，\(\cosh(x)\to+\infty\)。

4. 双曲余弦函数与其他函数的关系

与双曲正弦函数的关系：\(\cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=1\)。这一关系类似于三角函数中的\(\cos^{2}(x)+\sin^{2}(x)=1\)。例如，已知\(\sinh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)，\(\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)，则\(\cosh^{2}(x)-\sinh^{2}(x)=(\frac{e^{x}+e^{-x}}{2})^{2}-(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2})^{2}=\frac{e^{2x}+2 + e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2 + e^{-2x}}{4}=1\)。

与指数函数的关系：双曲余弦函数是由指数函数\(e^{x}\)和\(e^{-x}\)组合而成的，它在很多数学物理问题中出现，如在研究悬链线问题时，悬链线的方程\(y = a\cosh(\frac{x}{a})\)（\(a\)为常数）就用到了双曲余弦函数。

例1：求函数的导数

已知\(y = \cosh(x^{2})\)，求\(y^\prime\)。

令\(u = x^{2}\)，则\(y = \cosh(u)\)。

先对\(y = \cosh(u)\)求导，可得\(y^\prime_{u}=\sinh(u)\)；再对\(u = x^{2}\)求导，可得\(u^\prime_{x}=2x\)。

根据复合函数求导公式\(y^\prime_{x}=y^\prime_{u}\cdot u^\prime_{x}\)，则\(y^\prime = \sinh(x^{2})\cdot2x = 2x\sinh(x^{2})\) 。

例2：计算定积分

计算\(\int_{0}^{1}\cosh(x)dx\)。

由双曲余弦函数的积分公式\(\int \cosh(x)dx=\sinh(x)+C\)，可得：

\(\int_{0}^{1}\cosh(x)dx=[\sinh(x)]_{0}^{1}=\sinh(1)-\sinh(0)\)

又因为\(\sinh(0)=\frac{e^{0}-e^{-0}}{2}=0\)，\(\sinh(1)=\frac{e^{1}-e^{-1}}{2}\)，所以\(\int_{0}^{1}\cosh(x)dx=\frac{e - \frac{1}{e}}{2}\) 。

例3：求解方程

已知\(\cosh(x)=2\)，求\(x\)的值。

由双曲余弦函数的定义\(\cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=2\)，设\(e^{x}=t\)（\(t>0\)），则方程可化为：

\(\frac{t+\frac{1}{t}}{2}=2\)

化简得\(t^{2}-4t + 1 = 0\)

由求根公式可得\(t = 2\pm\sqrt{3}\)

当\(t = 2+\sqrt{3}\)时，即\(e^{x}=2+\sqrt{3}\)，所以\(x=\ln(2+\sqrt{3})\)；当\(t = 2-\sqrt{3}\)时，\(e^{x}=2-\sqrt{3}\)，所以\(x=\ln(2-\sqrt{3})\)，但因为\(2-\sqrt{3}<1\)，而\(e^{x}>0\)，所以\(x=\ln(2-\sqrt{3})\)舍去，故\(x=\ln(2+\sqrt{3})\)。

例4：研究函数的性质

已知函数\(y = 3\cosh(x)-2\)，分析其单调性、奇偶性等性质。

单调性：因为双曲余弦函数\(\cosh(x)\)在\((-\infty,+\infty)\)上单调递增，而\(y = 3\cosh(x)-2\)中\(3>0\)，所以函数\(y = 3\cosh(x)-2\)在\((-\infty,+\infty)\)上也是单调递增的。

奇偶性：由于\(\cosh(x)\)是偶函数，即\(\cosh(-x)=\cosh(x)\)。那么\(y(-x)=3\cosh(-x)-2=3\cosh(x)-2=y(x)\)，所以函数\(y = 3\cosh(x)-2\)是偶函数。

例5：物理中的应用——悬链线问题

在研究悬链线问题时，假设一根均匀柔软的绳索两端固定在两点\(A\)、\(B\)之间，在重力作用下自然下垂，其形状可以用双曲余弦函数来描述，设绳索的最低点为\(C\)，以\(C\)为原点建立直角坐标系，\(x\)轴水平向右，\(y\)轴竖直向上，则绳索的曲线方程为\(y = a\cosh(\frac{x}{a})\)，其中\(a\)为常数。

已知一悬链线方程为\(y = 5\cosh(\frac{x}{5})\)，求绳索在\(x = 3\)处的斜率。

对\(y = 5\cosh(\frac{x}{5})\)求导可得\(y^\prime=\sinh(\frac{x}{5})\)，当\(x = 3\)时，斜率\(k = \sinh(\frac{3}{5})\)，即绳索在\(x = 3\)处的斜率为\(\sinh(\frac{3}{5})\)，它的值为\(\frac{e^{\frac{3}{5}}-e^{-\frac{3}{5}}}{2}\) 。通过对双曲余弦函数等双曲函数的分析，可以进一步研究悬链线的物理性质，如绳索上任意一点的张力大小和方向等 。

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