1. 无穷小的定义

设函数\(f(x)\)在\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的极限为零，则称函数\(f(x)\)为当\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的无穷小。

例如，当\(x\to0\)时，\(f(x) = x\)，\(\lim_{x\rightarrow0}x = 0\)，所以\(y = x\)是当\(x\to0\)时的无穷小。

2. 无穷小比较

当我们考虑两个无穷小\(\alpha(x)\)和\(\beta(x)\)在\(x\to x_{0}\)（或\(x\to\infty\)）时的情况，为了描述它们趋于零的“快慢”程度，就有了无穷小的比较。

设\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\alpha(x)=0\)，\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\beta(x)=0\)。

高阶无穷小

若\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0\)，则称\(\alpha(x)\)是\(\beta(x)\)当\(x\to x_{0}\)时的高阶无穷小，记作\(\alpha(x)=o(\beta(x))(x\to x_{0})\)。

例如，当\(x\to0\)时，\(x^{2}\)是\(x\)的高阶无穷小，因为\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}}{x}=\lim_{x\rightarrow0}x = 0\)，所以\(x^{2}=o(x)(x\to0)\)。

低阶无穷小

若\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=\infty\)，则称\(\alpha(x)\)是\(\beta(x)\)当\(x\to x_{0}\)时的低阶无穷小。

同阶无穷小

若\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=C\neq0\)，则称\(\alpha(x)\)与\(\beta(x)\)是当\(x\to x_{0}\)时的同阶无穷小。

特别地，当\(C = 1\)时，称\(\alpha(x)\)与\(\beta(x)\)是等价无穷小，记作\(\alpha(x)\sim\beta(x)(x\to x_{0})\)。

例如，当\(x\to0\)时，\(\sin x\)和\(x\)是等价无穷小，因为\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1\)，即\(\sin x\sim x(x\to0)\)。

3. 等价无穷小的性质和应用

性质

若\(\alpha(x)\sim\beta(x)(x\to x_{0})\)，\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\alpha(x)\)存在，则\(\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\alpha(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\beta(x)\)。这一性质在求极限时非常有用。

应用

在求极限\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin2x}{x}\)时，因为\(\sin2x\sim2x(x\to0)\)，所以\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin2x}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x}{x}=2\)。这比使用洛必达法则等方法更加简便。

例1：判断高阶无穷小

设\(y = x^{3}\)，\(z = x^{2}\)，当\(x\to0\)时，判断\(y\)和\(z\)的关系。

解：计算\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{3}}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow0}x = 0\)，所以当\(x\to0\)时，\(x^{3}\)是\(x^{2}\)的高阶无穷小。

例2：判断同阶无穷小

当\(x\to0\)时，判断\(3x\)和\(2x\)的关系。

解：计算\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}\)，所以\(3x\)和\(2x\)是同阶无穷小。

例3：等价无穷小的判断

当\(x\to0\)时，判断\(\tan x\)和\(x\)的关系。

解：\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x\cos x}\)，因为\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=1\)，\(\lim_{x\rightarrow0}\cos x = 1\)，所以\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan x}{x}=1\)，即\(\tan x\sim x(x\to0)\)。

例4：利用等价无穷小求极限（1）

求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin3x}{2x}\)。

解：因为\(\sin3x\sim3x(x\to0)\)，所以\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin3x}{2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}\)。

例5：利用等价无穷小求极限（2）

求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\tan2x - \sin2x}{x^{3}}\)。

解：因为\(\tan2x\sim2x(x\to0)\)，\(\sin2x\sim2x(x\to0)\)，则原式\(=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x - 2x}{x^{3}}=0\)（这里需要注意，这种做法是错误的，正确做法如下）。

正确解法：\(\tan2x=\frac{\sin2x}{\cos2x}\)，原式\(=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin2x(1 - \cos2x)}{x^{3}\cos2x}\)，因为\(\sin2x\sim2x(x\to0)\)，\(1 - \cos2x\sim\frac{(2x)^{2}}{2}=2x^{2}(x\to0)\)，所以原式\(=\lim_{x\rightarrow0}\frac{2x\cdot2x^{2}}{x^{3}\cos2x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{4x^{3}}{x^{3}\cos2x}=4\)（当\(x\to0\)时，\(\cos2x\to1\)）。

例6：无穷小比较的综合判断

设\(\alpha(x)=x^{\frac{3}{2}}\)，\(\beta(x)=x\ln(1 + x)\)，当\(x\to0^{+}\)时，比较\(\alpha(x)\)与\(\beta(x)\)的阶。

解：计算\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{x\ln(1 + x)}\)，因为\(\ln(1 + x)\sim x(x\to0)\)，所以\(\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{x\ln(1 + x)}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{x\cdot x}=\lim_{x\rightarrow0^{+}}x^{-\frac{1}{2}}=\infty\)，所以\(\alpha(x)\)是\(\beta(x)\)的低阶无穷小。

例7：判断复杂函数的无穷小阶数

当\(x\to0\)时，判断\(f(x)=\sqrt{1 + x^{2}}-1\)是\(x\)的几阶无穷小。

解：对\(\sqrt{1 + x^{2}}-1\)进行分子有理化，\(\frac{(\sqrt{1 + x^{2}}-1)(\sqrt{1 + x^{2}} + 1)}{\sqrt{1 + x^{2}}+1}=\frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}} + 1}\)，\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{x^{2}}{\sqrt{1 + x^{2}}+1}}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}+1}=\frac{1}{2}\)，所以\(f(x)\)是\(x\)的二阶无穷小。

例8：利用等价无穷小的性质求极限

已知\(\alpha(x)\sim\beta(x)(x\to0)\)，且\(\lim_{x\rightarrow0}f(x)\alpha(x)=5\)，求\(\lim_{x\rightarrow0}f(x)\beta(x)\)。

解：因为\(\alpha(x)\sim\beta(x)(x\to0)\)，根据等价无穷小的性质，\(\lim_{x\rightarrow0}f(x)\beta(x)=\lim_{x\rightarrow0}f(x)\alpha(x)=5\)。

例9：判断多个无穷小的关系

当\(x\to0\)时，有\(\alpha(x)=x^{2}\)，\(\beta(x)=\sqrt{x}\)，\(\gamma(x)=x^{\frac{3}{2}}\)，比较它们的阶。

解：计算\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}=\lim_{x\rightarrow0}x^{\frac{3}{2}} = 0\)，所以\(x^{2}\)是\(\sqrt{x}\)的高阶无穷小；计算\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}}}=\lim_{x\rightarrow0}x^{-1}=\infty\)，所以\(\sqrt{x}\)是\(x^{\frac{3}{2}}\)的低阶无穷小。

例10：利用等价无穷小化简式子后求极限

求\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1 + x)^{\frac{1}{3}}-1}{x}\)。

解：因为当\(x\to0\)时，\((1 + x)^{\alpha}-1\sim\alpha x\)，所以\((1 + x)^{\frac{1}{3}}-1\sim\frac{1}{3}x(x\to0)\)，则\(\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1 + x)^{\frac{1}{3}}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{3}x}{x}=\frac{1}{3}\)。

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